Лекция 8 Колебательные системы с двумя степенями свободы

 

Связанные колебательные системы влияют друг на друга. Колебания таких систем уже не будут независимы, поскольку системы обмениваются энергией. Связь может быть обусловлена:

• упругостью
• трением
• инерцией

Если одной из систем сообщили энергию и она совершает колебательное движение, то постепенно она передает свою энергию второй системе. Скорость передачи энергии зависит от того, насколько сильна связь, т. е. от степени связи χ.

Если у обеих систем одинаковая собственная частота, то после того, как система 1 придет в состояние покоя (ее энергия обратится в нуль), изменится направление потока энергии. Обе системы будут совершать биения, сдвинутые по времени на Т_б/2.

Рис. 7.1. Связанные колебания, колебания связанных маятников

 

Биения возникают в результате сложения собственных (нормальных) колебаний обеих систем.

Имеются два возможных типа собственных колебаний связанных систем:

• Системы колеблются в фазе (синфазно). Наличие связи не меняет частоты, и обе системы колеблются с частотой f₁ = f₀.

Рис.7.2. Связанные колебания — Системы колеблются в фазе

• Системы колеблются в противофазе (∆φ = π). Из-за дополнительной жесткости D_св, обусловленной наличием связи, частота колебаний уменьшается. Обе системы колеблются в этом случае с частотой f₂.

Рис. 7.3. Связанные колебания — Системы колеблются в противофазе

Связанные колебания - собственные колебания в сложной системе, состоящей из связанных между собой простейших (парциальных) систем.

Особенности колебаний в связанных системах рассмотрим на примере двух математических или физических маятников, связанных между собой пружиной.

Свободный математический маятник, как известно, обладает двумя степенями свободы, то есть для описания его движения требуется два параметра – углы смещения в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Система из двух маятников описывается четырьмя параметрами и, следовательно, имеет четыре степени свободы. Если колебания, соответствующие каждой степени свободы, независимы, то задача описания движения является чисто кинематической, то есть задачей разложения сложного движения на сумму более простых движений. Если между движениями по различным степеням свободы имеется динамическая связь, при которой возбуждение одной степени свободы вызывает динамические изменения во всех остальных степенях свободы, то это приводит к обмену колебательной энергии между степенями свободы, приводя к новым физическим явлениям, отсутствующим у системы независимых маятников.

Как известно, для свободного математического маятника уравнение моментов будет

, (1)

где J – момент инерции маятника, m, l – его масса и длина соответственно, α – угол отклонения от положения равновесия. В случае двух маятников, связанных пружиной, на каждый маятник будет действовать дополнительная сила со стороны пружины F_св, которая при небольших отклонениях может быть определена из закона Гука

F_св = kl₁(α₁ - α₂),

где l₁ – расстояние от точки крепления маятника до точки крепления пружины. Эта сила создает дополнительный момент, действующий на каждый из маятников. В этом случае уравнения движения маятников будут иметь вид

, (2)

где учтено, что . В общем случае уравнения колебаний в системе двух произвольных связанных маятников имеют вид

, (3)

, (4)

здесь x₁ , x₂ – отклонения маятников от положения равновесия, ω₀₁ , ω₀₂ – частоты собственных колебаний маятников (парциальные частоты), λ₁ , λ₂ – коэффициенты, определяющие величину связи между маятниками. Как следует из (2)-(4) для рассматриваемого случая.

. (5)

Решение системы (3),(4) легко найти с помощью метода комплексных амплитуд, если предположить, что в ней можно возбудить гармонические колебания на некоторой частоте ω, причем

,

, (6)

где – комплексные амплитуды колебаний маятников. После подстановки (6) в (3), (4) получим

, (7)

где ζ = x₂₀/x₁₀. Решением этой системы алгебраических уравнений являются

, (8)

. (9)

Здесь верхний знак перед корнем относится к ω₁ и ζ₁ , а нижний – к ω₂ и ζ₂ Общее решение системы (3), (4) имеет вид

, (10)

, (11)

где амплитуды и фазы A , B, ψ₁ , ψ₂ определяются начальными условиями, а частоты ω₁, ω₂ и коэффициенты ζ₁ , ζ₂ не зависят от начальных условий и определяются только свойствами колебательной системы. Для случая двух одинаковых связанных маятников из (9) следует ζ₁ = 1 , ζ₂ = -1 .

Таким образом, хотя в общем случае произвольное колебание маятников не является гармоническим, тем не менее его всегда можно представить в виде суммы двух гармонических колебаний с частотами ω₁ и ω₂. Эти колебания носят название нормальных колебаний (собственных колебаний системы), а частоты ω₁ и ω₂ – нормальных частот. Каждое нормальное колебание системы ( его называют также модой колебаний) является совокупностью колебаний обоих маятников, оно характеризуется частотой ω₁ или ω₂ , а также определенным соотношением между амплитудами колебаний каждого маятника (амплитуды отличаются соответственно в ζ₁ или ζ₂ раз). Нормальные колебания можно выделить в любой колебательной системе, состоящей из произвольного числа маятников, если движение этой системы описывается системой уравнений типа (3), (4). В том случае, когда в системе возбуждено одно нормальное колебание, каждый маятник колеблется по гармоническому закону с частотой этого колебания, а амплитуды и фазы колебаний всех входящих в систему маятников однозначно связаны между собой.

 

В общем случае в этой системе могут происходить четыре типа колебаний, соответствующих четырем степеням свободы: одно вертикальное, два маятниковых в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях и одно крутильное.

Таким образом, перед нами возникает задача изучения основных закономерностей колебаний в системах с двумя, тремя и более степенями свободы, затем можно рассмотреть и колебания сплошной среды, как системы с бесконечно большим числом степеней свободы.

(3.12)

Производя суммирование тригонометрических функций в (3.12), получим:

(3.13)

Временные зависимости (3.13) изображены на рис. 3.6.

Видно, что колебания каждой из масс имеют форму биений. Период этих биений равен1

(3.14)

где частота биений

(3.15)

Если ввести среднюю частоту

(3.16)

то с этой частотой связан период колебаний

Если частота биений как это изображено на рис. 3.6, то В этом случае колебания обоих грузов будут почти гармоническими (квазигармоническими). Если переписать (3.13) с использованием средней частоты и частоты биений в виде:

(3.17)

то при колебания (3.17) можно трактовать как колебания с частотой и медленно меняющейся амплитудой

Так, в частности, для колебаний, изображенных на рис. 3.6 ( или ) и описываемых формулами (3.17), легко нарисовать спектр, поскольку уже известно спектральное разложение этого колебания (представление в виде суммы гармонических колебаний), задаваемое формулами (3.12).

Такой спектр изображен на рис. 3.7.

Рис.7.4. Спектр связанных колебаний

Этот спектр содержит две спектральные компоненты. Его можно охарактеризовать средней частотой и шириной В соответствии с формулой (3.14) произведение на период равно постоянной величине:

(3.18)

Формула (3.18) имеет глубокое физическое содержание. Так, если происходит некоторое квазигармоническое колебание вида

(3.19)

для которого амплитуда и фаза медленно меняются на масштабе времени (рис. 3.8а), то спектр такого колебания может состоять из большого числа частот.

 

Рис.7.5. Временная и спектральная характеистики

Эти частоты группируются вблизи центральной (основной) частоты в пределах характерного интервала частот обратно пропорционального временному масштабу На рис. 3.8б изображен этот спектр, где по оси ординат отложен квадрат амплитуды каждой из гармонических составляющих, причем между и существует связь:

Количественная связь между колебательным процессом и его спектром представляется (по аналогии с формулами (3.12)) в виде суммы конечного или бесконечного числа гармонических составляющих (в виде ряда или интеграла Фурье). Такое представление будет широко использоваться в курсе "Оптика".

Колебания (3.12), вообще говоря, не являются периодическими, т.е. нельзя указать такое время спустя которое они точно повторяются (отношение частот - чаще всего иррациональное число, а случаи их рационального отношения: будут исчезающе редки). Поэтому периодом биений мы называем период (3.14) повторения огибающей суммарного колебания, равный половине периода колебания с частотой

Безразмерный коэффициент связи \gamma между двумя системами может принимать значения Если из (3.31) определить нормальные частоты и то они будут выражаться через парциальные частоты и и коэффициент Эти четыре частоты будут располагаться на оси частот в последовательности, изображенной на рис. 7.6.

Рис.7.6. Спектральные составляющие

При слабой связи нормальные частоты близки к парциальным, а при сильной связи различие в частотах становится существенным. Это хорошо видно, если парциальные частоты совпадают Тогда (3.31) примет вид:

Отсюда

Мы ограничимся лишь обсуждением результатов.

На рис. 7.7 изображена АЧХ для первого осциллятора, к которому приложена сила. Обращает на себя внимание наличие двух резонансов, которые при малом затухании наблюдаются на нормальных частотах и . При изменении частоты от до амплитуда падает и достигает минимума на второй парциальной частоте при этом с уменьшением затухания амплитуда на этой частоте стремится к нулю. Это обстоятельство используют для подавления отклика системы на действие внешней силы. В радиотехнике, где используются связанные колебательные контуры, их применяют как фильтры и демпферы.

Рис.7.7. Спектральная характеристики связанных маятников

Два резонанса имеют место и для смещения второй массы. Если проанализировать отношение амплитуд в зависимости от частоты то оказывается, что это отношение вблизи частоты равно коэффициенту распределения амплитуд для первой моды, а вблизи частоты - коэффициенту распределения амплитуд для второй моды. Это используется для определения этих коэффициентов, поскольку при вынужденных колебаниях это сделать проще, чем при собственных.

Выводы