Програма роботи

2.1.1 Скласти математичну модель оптимального розподілу техніки за обсягом робіт методом лінійного програмування.

2.1.2 Розв’язати задачу графічним методом.

 

2.2 Теоретичні відомості

 

Оптимальний розподіл техніки за видами робіт може здійснюватись, як при річному, так і при оперативному плануванні виробництва. Тобто, цю задачу доводиться вирішувати протягом року багаторазово. Цільовими функціями можуть бути мінімум приведених витрат, затрати праці, палива або інших ресурсів.

Цю задачу важливо вирішити методом багатомірної оптимізації з обмеженнями. В свою чергу серед методів багатомірної оптимізації з обмеженнями особливе місце займає лінійне програмування. Це пояснюється широким колом задач, що можуть бути зведені до лінійних моделей, а також розвинутим математичним і програмним забезпеченням методу лінійного програмування.

Задача лінійного програмування у стандартній формі має вигляд

Z = C1x1 + C2x2 + … + Cnxn → min

(1.1)

при

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 ……………………………… am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, … xn ≥ 0 b1 ≥ 0, b2 ≥ 0, … xm ≥ 0

(1.2)

 

де n – число незалежних змінних величин;

m – число обмежень;

a_j, c_j – числові коефіцієнти при змінних величинах.

2.3 Вихідні данні для виконання роботи необхідно задати студенту індивідуально згідно даних таблиць 1.1 та 1.2.

Таблиця 1.1 - Орієнтовані годинні норми виробітку на

сільськогосподарські механізовані роботи, га

Найменування операції	Марка трактора
ДТ-75М	ЮМЗ-6	МТЗ-80	Т-150К	Т-150	МТЗ-100
Оранка на 25...27 см	0,94	0,43	0,57	1,29	1,47	0,71
Лущення стерні на 6...9 см	5,29		3,43	8,14	9,14	3,71
Культивація суцільна на 10...14 см	6,29	3,86		7,85		4,86
Культивація суцільна з боронуванням на 10...14 см		2,14	2,43	6,14	6,42	3,29
Боронування зябу в 1 слід	11,43	8,29	8,57	11,71	15,71	9,29
Внесення та загорнення гербіцидів	4,71	1,71	2,14	5,57	5,71	3,29
Посів озимих	6,42		4,43	8,57	7,13
Посів кукурудзи	4,57	2,40	2,5	4,57		3,57
Міжрядний обробіток просапних	6,43	3,29	3,86	6,43	7,14	4,57
Прикочування посівів (гладкими катками)	6,86	4,43		9,29	8,57	5,43

 

 

Таблиця 1.2 - Номінальні витрати палива, кг/год

 

№	Марка трактора	Номінальні витрати палива
	ДТ-75М	16,7
	ЮМЗ-6	11,2
	МТЗ-80	12,2
	Т-150К	30,5
	Т-150	27,7
	МТЗ-100	15,4

2.4 Рекомендації щодо виконання й оформлення роботи

 

Розрахункова частина задачі виконується на аркушах формату А4, а графічна на міліметровому папері формату А3.

Розглянемо побудову математичної моделі задачі лінійного програмування на прикладі.

Приклад: у господарстві за 5 днів планується провести культивацію та сівбу кукурудзи. Культивацію на площі 700 га, а сівбу – на 300 га. На ці роботи може бути виділено 2 трактори Т-150 та 1 трактор МТЗ-80. Потрібно знайти варіант оптимального розподілу обсягу робіт між двома видами агрегатів, забезпечити мінімум експлуатаційних витрат.

Математична модель питомої задачі в загальному вигляді

 

Z = C11x11 + C12x12 + C21x21 + C22x22 → min

(1.3)

 

при наступних умовах

1. 2. 3. 4. 5.

(1.4)

де Т_зм – час нормативної зміни, год; Т_зм = 7 год;

k_зм – коефіцієнт змінності, приймається 1, 1,5 або 2 в

залежності від пори року проведення робіт;

n₁, n₂ – кількість тракторів відповідної марки.

Д – кількість днів проведення робіт, дні.

Для вирішення задачі необхідно задати годинну продуктивність кожного агрегату на кожній операції, а також відповідні експлуатаційні витрати.

Годинна продуктивність трактора Т-150 на культивації складає – 9 га/год, на сівбі кукурудзи – 4 га/год.

Годинна продуктивність трактора МТЗ-80 на культивації становить – 4 га/год, на сівбі кукурудзи – 2,5 га/год.

Експлуатаційні витрати можливо приблизно виразити крізь витрати палива. На підставі досліджень встановлено, що доля вартості палива в експлуатаційних витратах становить приблизно 25%.

Годинна витрата палива трактора Т-150 складає – 27,7 кг/год;

а трактора МТЗ-80 – 12 кг/год.

Тоді експлуатаційні витрати, наприклад, на культивації Т-150 дорівнюють

(1.5)

де g₁₅₀ – годинна витрата палива, g₁₅₀ = 27,7 кг/год;

W₁₁ – годинна продуктивність, W₁₁ = 9 га/год;

Ц_ДТ – ціна палива, грн.

Для складання рівнянь розрахункові дані занесемо до таблиці 1.3.

Таблиця 1.3 – Вихідні дані для розрахунків

 

Технологічна операція	Обсяг робіт, га	Годинна продуктивність, га/год	Експлуатаційні витрати, грн/га	Площа обробітку тракторами, га
Т-150	МТЗ-80	Т-150	МТЗ-80	Т-150	МТЗ-80
Культивація				12,31		х11	х12
Сівба кукурудзи			2,5	27,7	19,2	х21	х22

 

Тоді цільову функцію можна записати у вигляді виразу

 

Z = 12,31·х11 + 12·х12 + 27,7·х21 + 19,2·х22 → min

(1.6)

 

при наступних умовах

 

х11 + х12 = 700; х21 + х22 = 300; 0,11·х11 + 0,25·х21 ≤ 70; 0,25·х12 + 0,4·х22 ≤ 35;

(1.7)

Розглянемо графічне розв’язання цієї задачі. Спочатку необхідно визначити область допустимих рішень (ОДР). Для цього в усіх обмеженнях почергово припускаються до нуля змінні і знаходять відповідне числове значення іншої змінної. Ці значення будуть відповідати точкам перетину графічної прямої обмежень з осями координат х₁ та х₂ (рисунок 1.1). Відкладаємо значення х₁₁ та х₂₁ на осі х₁, а значення х₂₁ та х₂₂ на осі х₂.

 

 

Де залежність під номером

1 – рівняння х₁₁ + х₁₂ = 700;

2 – рівняння х₂₁ + х₂₂ = 300;

3 – нерівність 0,11·х₁₁ + 0,25·х₂₁ ≤ 70, при умові, що

трактор Т-150 робив би тільки культивацію, х₂₁ = 0;

4 – нерівність 0,25·х₁₂ + 0,4·х₂₂ ≤ 35,при умові, що

трактор МТЗ-80 робив би тільки культивацію, х₂₂ = 0;

5 – нерівність 0,11·х₁₁ + 0,25·х₂₁ ≤ 70, при умові, що

трактор Т-150 робив би тільки посів кукурудзи, х₁₁ = 0;

6 – нерівність 0,25·х₁₂ + 0,4·х₂₂ ≤ 35, при умові, що

трактор МТЗ-80 робив би тільки посів кукурудзи, х₁₂ = 0.

 

Положення прямої цільової функції Z знаходять відповідним завданням її значення, при якому пряма перетинається в межах рисунку, хоча б з однією координатою віссю. Для нашого прикладу розділяємо цільову функцію на дві. Для культивації вона має вигляд

 

Zк = 12,31·х11 + 12·х12 → min

(1.8)

 

Для сівби кукурудзи

 

Zс = 27,7·х21 + 19,2·х22 → min

(1.9)

 

Приймаємо початкове значення

Z_к = 5000 грн.

Z_с = 1000 грн.

Будуємо прямі Z_к і Z_с. Проводячи плоско-паралельне переміщення прямої цільової функції 7 та 8 в напрямку ОДР, знаходять точку або лінію на її межі, що відповідає оптимальному рішенню. Приймаємо: О₁та О₂.

Трактори Т-150 виконують 575 га культивацій та 225 га сівби кукурудзи, а трактор МТЗ-80 – 125 га культивації та 75 га сівби кукурудзи, при цьому експлуатаційні витрати

 

Z = 13,31 · 575 + 12 · 125 + 27,7 · 225 + 19,2 · 75 = 16825,75 грн.

Рисунок 1.1 – Графічний метод розв’язання задачі оптимізації