Теоретические сведения к практической работе

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использование особых знаковых систем, которые называют системами счисления.

Система счисления – совокупность приемов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов.

Все системы счисления делятся на две большие группы: ПОЗИЦИОННЫЕ и НЕПОЗИЦИОННЫЕ.

Позиционные - количественное значение каждой цифры числа зависит от того, в каком месте (позиции или разряде) записана та или иная цифра.

Непозиционные - количественное значение цифры числа не зависит от того, в каком месте (позиции или разряде) записана та или иная цифра.

Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр используются: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).
Величина числа определяется как сумма или разность цифр в числе.
MCMXCVIII = 1000+(1000-100)+(100-10)+5+1+1+1 = 1998

На Руси до XVIII в. использовалась непозиционная система счисления. Буквы имели цифровое значение, если над ними ставился знак ~ титло.

Непозиционные системы пригодны для сложения и вычитания, но не удобны для умножения и деления.

Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричная, т.е. в ней использовалось шестьдесят цифр!

В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления.

В настоящее время наиболее распространены десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Количество различных символов, используемых для изображения числа в позиционных системах счисления, называется основанием системы счисления.

 

Система счисления	Основание	Алфавит цифр
Десятичная		0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная		0, 1
Восьмеричная		0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная		0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

 

Мы привыкли к десятичному счету. Поэтому необходимо уметь перевести число из любой системы в десятичную. Для этого существует правило.

При переводе числа в десятичную систему счисления нужно его представить в виде суммы произведений составляющих его цифр на соответствующие степени основания системы.

Пример. 10101₂ = 1*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰ = 16+4+1 = 21₁₀

15FC₁₆ = 1*16³+5*16²+15*16¹+12*16⁰ = 4096+1280+240+12 = 5628₁₀

 

Необходимо также уметь переводить число из десятичной системы счисления в любую другую систему.

Для этого применяют правило:

Для того, чтобы перевести число из десятичной системы в любую другую нужно это число разделить с остатком на основание системы. Полученный остаток – это младший разряд искомого числа, а полученное частное снова делится с остатком, который равен второй справа цифре и т.д. Так продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше делителя (основания системы) Это частное старшая цифра искомого числа.

Пример. 37₁₀ = 100101₂

315₁₀ = 473₈ = 13В₁₆

37|2 315|8 315|16

36 18|2 312 39|8 164 19|16

1 18 9|2 3 32 4 155 16 1

0 8 4|2 7 144 3

1 4 2|2 11

0 2 1 В

0

 

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным правилам.

Сложение. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания

Вычитание. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа(0) большего(1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой:

0 – 0 = 0

0 – 1 =11

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел и происходит по схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на цифры множителя.

0 * 0 = 0

0 * 1 = 0

1 * 0 = 0

1 * 1 = 1

Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.

Арифметические операции в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Операции выполняются аналогично вычислениям в двоичной системе счисления. Необходимо только помнить, что величина переноса в следующий разряд при сложении и заем из старшего разряда при вычитании определяется величиной основания системы счисления.

Для проведения арифметических операций над числами, выраженными в различных системах счисления, необходимо предварительно перевести их в одну и ту же систему.

 

Для перевода чисел между системами счисления и выполнения арифметических операций в различных системах счисления, можно использовать стандартную программу Калькулятор.

 

Для перевода чисел:

1. Запустите программу Калькулятор: Пуск – Все программы – Калькулятор.

2. В меню Вид выберите команду Инженерный.

3. Выберите систему счисления: BIN (1111101000₂) – двоичная, OCT (1750₈) -восьмеричная, DEC (1000₁₀) – десятичная и HEX (3Е8₁₆) - шестнадцатеричная.

4. Введите число для преобразования.
4. Выберите систему счисления, в которую его требуется преобразовать.
5. Выберите необходимую разрядность результата.

 

Для выполнения арифметических операций:

1. Теперь запустите программу Калькулятор: Пуск – Все программы – Калькулятор.

2. В меню Вид выберите команду Инженерный.

3. Выберите систему счисления введите 1 число.

4. Введите знак арифметической операции.

5. Выберите систему счисления введите 2 число.

6. и т.д.

7. Введите знак равенства.

8. Выберите систему счисления, в которой хотите получить ответ.

 

Для перевода чисел между системами счисления и выполнения арифметических операций в различных системах счисления, можно воспользоваться специально установленной программой Wise Calculator. В режиме Multi-Base Calculator появляется многооконная панель, позволяющая ввести число в любой системе счисления и автоматически получить значения этого числа в других системах счисления.

 

Пример. Перевод чисел из одной системы в другую с помощью программы Wise Calculator.

 

	Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
	Запустить на выполнение Wise Calculator.
	Ввести команду [Tools-Multi-Base Calculator...].
	На появившейся многооконной панели Multi-Base Calculator ввести число в выбранной системе счисления в соответствующее этой системе окно.
	В окнах BIN, OCT, DEC и HEX появятся значения числа в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления.

 

В режиме Multi-Base Calculator возможно проведение арифметических операций (сложение, вычитание и умножение) в различных системах счисления. Для этого в окна операндов A и B необходимо ввести числа (можно в различных системах счисления) и выбрать в группе переключателей Operation арифметическую операцию.

 

Пример. Выполнение арифметических операций с помощью программы Wise Calculator.

 

	Арифметические операции в различных системах счисления.
	Запустить Wise Calculator и ввести команду [Tools-Multi-Base Calculator...].
	На появившейся многооконной панели Multi-Base Calculator ввести пару чисел в окна операндов A и B. Например, восьмеричное число 128 в окно OCT (операнд А) и шестнадцатеричное число 6416 в окно HEX (операнд B).
	Выбрать в группе переключателей Operation, например, операцию умножения A*B.
	В окнах Result появится результат выполнения арифметической операции одновременно в четырех системах счисления: DEC (100010), BIN (11111010002), OCT (17508) и HEX (3Е816).