Полезность как функция средней и дисперсии относительно нее

 

В предыдущей главе мы исследовали модель выбора в условиях неопределенности, построенную с использованием функции ожидаемой полезности. Другой подход к задачам выбора в условиях неопределенности состоит в том, чтобы описать распределения богатства по вероятностям, являющиеся объектами выбора, с помощью нескольких параметров и придумать функцию полезности, которая бы определялась указанными параметрами. Наиболее известный пример реализации такого подхода - модель средней и дисперсии относительно нее. Вместо того, чтобы считать, что предпочтения потребителя зависят от полного распределения вероятностей его богатства по всем возможным исходам, мы предполагаем, что его предпочтения могут быть должным образом описаны с помощью всего лишь нескольких статистических выводов в отношении распределения вероятностей его богатства.

Допустим, что случайная переменная w принимает значения для s=1,...,S с вероятностью . Средняя распределения вероятностей есть просто его среднее значение:

.

 

Это - формула среднего арифметического взвешенного: возьмите каждый из исходов, взвесьте его вероятностью того, что он будет иметь место, и суммируйте полученные результаты по всем исходам. [1]

Дисперсия распределения вероятностей богатства есть среднее значение величины :

.

 

Дисперсия измеряет "разброс" распределения и является подходящей мерой степени имеющегося риска. Тесно связана с ней такая мера, как стандартное отклонение, обозначаемое , которое является квадратным корнем из дисперсии:

.

Средняя распределения вероятностей измеряет его среднее значение - то, вокруг которого сосредоточено распределение. Дисперсия распределения измеряет "разброс" распределения - то, каким образом оно рассеивается вокруг средней. На рис. 13.1 вы можете увидеть графическое представление распределений вероятностей с различными средними и дисперсиями.

В модели средней и дисперсии относительно нее предполагается, что полезность распределения вероятностей, приносящего инвестору богатство с вероятностью , можно выразить как функцию средней данного распределения и дисперсии относительно этой средней, . Или, если это более удобно, полезность можно выразить как функцию средней и стандартного отклонения, . Поскольку и дисперсия, и стандартное отклонение есть меры степени риска, характеризующей распределение вероятностей, можно считать полезность зависящей от любого из этих двух показателей.

Эту модель можно рассматривать как упрощение модели ожидаемой полезности, описанной в предыдущей главе. Если существует возможность полностью охарактеризовать варианты производимого выбора с помощью соответствующей им средней и дисперсии относительно нее, то на основе функции полезности для средней и дисперсии можно ранжировать варианты выбора таким же образом, как и на основе функции ожидаемой полезности. Более того, даже если распределения вероятностей не могут быть полностью охарактеризованы их средними и дисперсиями, модель средней и дисперсии относительно нее может служить разумным приближением модели ожидаемой полезности.

Примем естественным образом напрашивающуюся предпосылку о том, что, при прочих равных условиях, более высокий ожидаемый доход - это хорошо, а более высокая дисперсия - это плохо. Это - лишь другой способ сформулировать предпосылку о том, что люди обычно не расположены к риску.

Применим модель средней и дисперсии относительно нее к анализу простой задачи на структуру портфеля активов. Предположим. что у вас имеется возможность произвести инвестиции в два различных актива. Один из них, безрисковый актив, всегда приносит постоянную норму дохода, . Этот актив - нечто вроде казначейского векселя, приносящего твердую ставку процента, что бы ни произошло.

 

Рис.13.1 Средняя и дисперсия относительно нее. Средняя распределения вероятностей, изображенного на рис.A, положительна, а средняя распределения вероятностей, изображенного на рис.B, отрицательна. Распределение на рис.A более "растянуто", чем распределение на рис.B, а это означает, что оно характеризуется большей дисперсией.

 

Другой актив - это рисковый актив. Представьте себе, что этот актив - вложение в крупный взаимный фонд, занимающийся покупкой акций. Если конъюнктура фондового рынка высокая, ваше вложение приносит высокий доход. Если конъюнктура фондового рынке низкая, ваше вложение приносит низкий доход. Обозначим через доход на этот актив при исходе s, а через - вероятность наступления данного исхода. Через мы обозначим ожидаемый доход на рисковый актив, а через - стандартное отклонение дохода на этот актив.

Конечно, вам не надо выбирать один из этих двух активов; как правило, у вас есть возможность распределить свое богатство между вложениями в оба актива. Если доля вашего богатства, вложенная в рисковый актив, равна x, а доля вашего богатства. вложенная в безрисковый актив, равна (1-x), то ожидаемый доход на ваш портфель активов будет задан формулой

 

 

.

 

Поскольку , мы получаем

 

.

 

Таким образом, ожидаемый доход на портфель из двух активов есть среднее арифметическое взвешенное двух ожидаемых доходов.

 

Рис.13.2 Риск и доход. Бюджетная линия показывает издержки получения большего ожидаемого дохода, выраженные через возросшее стандартное отклонение дохода. В точке оптимального выбора кривая безразличия должна касаться этой бюджетной линии.

 

Дисперсия вашего портфельного дохода задана формулой

 

.

 

После подстановки в эту формулу полученного нами выражения для , она принимает вид

 

 

 

.

 

Следовательно, стандартное отклонение портфельного дохода задано формулой

 

.

 

Естественно предположить, что , так как инвестор, не расположенный к риску, никогда не будет держать в своем портфеле рисковый актив, если он приносит более низкий ожидаемый доход, чем безрисковый актив. Отсюда следует, что если вы предпочтете направить большую долю своего богатства на покупку рискового актива, то получите более высокий ожидаемый доход, но также будете нести больший риск. Это изображено на рис.13.2.

Выбрав x=1, вы вложите все свои деньги в рисковый актив и получите ожидаемый доход и стандартное отклонение вида (). Выбрав x=0, ы вложите все свое богатство в надежный актив и получите ожидаемый доход и стандартное отклонение вида (). Выбрав x где-то между 0 и 1, вы окажетесь, в итоге, где-то посередине линии, соединяющей две указанных точки. Эта линия и дает нам бюджетную линию, описывающую предлагаемый рынком выбор между риском и доходом.

Поскольку мы придерживаемся предпосылки о том, что предпочтения людей зависят лишь от средней и дисперсии их богатства, мы можем нарисовать кривые безразличия, иллюстрирующие предпочтения индивида в отношении риска и дохода. Если люди не расположены к риску, то более высокий ожидаемый доход повышает их благосостояние, а более высокое стандартное отклонение его понижает. Это означает, что стандартное отклонение есть "антиблаго". Отсюда следует, что кривые безразличия будут иметь положительный наклон, как показано на рис.13.2.

В точке оптимального выбора риска и дохода наклон кривой безразличия на рис.13.2 должен равняться наклону бюджетной линии. Мы могли бы назвать этот наклон ценой риска, так как он измеряет пропорцию, в которой могут обмениваться риск и доход при выборе оптимальной структуры портфеля. Как показывает внимательный взгляд на рис.13.2, цена риска задается формулой

 

(13.1)

 

Итак, точку оптимального распределения портфеля между надежным активом и рисковым активом можно охарактеризовать условием соблюдения равенства предельной нормы замещения между дохода риском цене риска:

 

(13.2)

 

Предположим теперь, что существует много индивидов, производящих выбор между двумя указанными активами. Для каждого из них предельная норма замещения должна равняться цене риска. Следовательно, в равновесии MRS у всех индивидов будут равны: если предоставить людям достаточно широкие возможности для торговли рисками, то равновесная цена риска для всех индивидов будет одинаковой. Риск в этом отношении ничем не отличается от других товаров.

Можно использовать идеи, развитые нами в предыдущих главах, для исследования того, какие изменения происходят с оптимальным выбором при изменении параметров задачи. Применительно к данной модели можно использовать все, что было сказано о нормальных товарах, товарах низшей категории, выявленных предпочтениях и т.д.

Например, предположим, что индивиду предлагается выбрать новый рисковый актив y, имеющий, скажем, среднее значение дохода и стандартное отклонение , как показано на рис.13.3.

Который из двух активов выберет потребитель, если ему предложат выбор между вложением в x и вложением в y? На рис.13.3 изображены и исходное, и новое бюджетные множества. Обратите внимание на то, что любая комбинация риска и дохода, которую можно было выбрать при исходном бюджетном множестве, может быть выбрана и при новом бюджетном множестве, так как новое бюджетное множество включает в себя старое. Следовательно, инвестировать в актив y и в безрисковый актив определенно лучше, чем инвестировать в x и в безрисковый актив, так как, в конечном счете. потребитель сможет выбрать лучший портфель.

Очень важную роль в этих рассуждениях играет тот факт, что потребитель может выбирать, сколько он хочет иметь рискового актива. Если бы речь шла о выборе " все или ничего", при котором потребителя вынуждали бы вложить все деньги либо в x, либо в y, исход выбора был бы совершенно другим. В примере, изображенном на рис.13.3, потребитель предпочел бы вложению всех денег в y их вложение в x, поскольку x лежит на более высокой кривой безразличия, чем y. Но если бы он мог комбинировать рисковый актив с безрисковым активом, он всегда предпочел бы комбинировать безрисковый актив с y, а не с x.

 

Рис.13.3 Предпочтения в отношении риска и дохода. Актив с комбинацией риска и дохода y предпочитается активу с комбинацией риска и дохода x.