Реферат Курсовая Конспект
Независимые события. - раздел Философия, Независимые события Введем Теперь Понятие Независимого События. Определение....
|
Введем теперь понятие независимого события.
Определение. Если , т.е. условная вероятность события В равна его безусловной вероятности, то событие В называют независимым от события А.
В этом случае, из формулы (5.3) следует, что
, (6.1)
и теорема о произведении двух событий принимает очень простой вид.
Теорема 6.1.(о произведении двух независимых событий). Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Рассмотрим, как рассчитать вероятность совокупного результата двух или более экспериментов, которые проводятся в независимых друг от друга условиях.
Итак, вероятность события А остается постоянной как при условии, что В произошло, так и при условии, что В не произошло. Именно это мы принимаем за независимость в обыденной жизни.
На практике обычно для установления независимости событий не используют формальное определение и не анализируют формулы, а определяют независимость интуитивно. Например, нетрудно сообразить, что результаты нескольких подбрасываний монеты или кубика – независимые события.
Определение. События А1,А2,..., Аk из будем называть независимыми в совокупности, если вероятность совместного наступления любых n (n ≥2) из этих событий равна произведению их вероятностей.
Для событий, независимых в совокупности, верна следующая теорема, обобщающая теорему 6.1.
Теорема 6.2.(о произведении событий, независимых в совокупности) Если события А1,А2,..., Аk независимы в совокупности, то
Р(А1,А2,..., Аk)=Р(А1)Р(А2)...Р(Аk). (6.2)
т.е. вероятность произведения событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.
Заметим, что для независимости в совокупности нескольких событий недостаточно их попарной независимости. В этом можно убедиться на следующем примере, принадлежащем С.Н. Бернштейну.
Пример.Пусть грани тетраэдра (четырехгранной пирамиды) раскрашены следующим образом: первая грань - красного цвета, вторая – зеленого, третья – синего, а на четвертой грани есть все эти три цвета. Выбираем на тетраэдре одну грань случайным образом. Обозначим события следующим образом: А – «на выбранной грани есть красный цвет», В – «на выбранной грани есть зеленый цвет», С – «на этой грани есть синий цвет».
Всего тетраэдр имеет 4 грани, на двух из них есть красный цвет, поэтому . Аналогично вычисляем .
Допустим, что произошло событие В, т.е. мы выбрали вторую или четвертую грань. Тогда событие А может наступить при условии, что В уже произошло, только в одном из двух случаев (только на четвертой грани есть красный цвет, а на второй грани его нет). Поэтому . Аналогично .
Из равенства следует, что события А и В независимы. Из равенств и следует, что В и С, А и С тоже попарно независимы.
Однако, если произошли события В и С одновременно (на грани есть и синий и зеленый цвета), то заведомо и событие А произошло (на этой грани есть и красный цвет тоже), т.е. .
Таким образом, , это означает, что события А, В и С не являются независимыми в совокупности, хотя они попарно независимы.
Вероятность события (на грани есть все три цвета) очевидно, равна 1/4. Эта вероятность может быть вычислена с помощью формулы (5.3), но формула (6.2) здесь неприменима.
Обозначим Р(Аi) = pi , а вероятность противоположного события Р(Āi) = 1 - pi = qi. В итоге получаем формулу для вычислениявероятности появления хотя бы одного события:
Р(А) = 1 - q1 q2 q3…qn
Замечание. Если все события Ā1 , Ā2 , Ā3 , …, Ān имеют одну и ту же вероятность p, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий
Р(А) = 1 – q n
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Определение Испытаниями Бернулли называются независимые испытания с двумя исходами традиционно их называют успех и неудача вероятность... Проводятся ровно п одинаковых последовательных или совместных независимых... Обозначим вероятности Р А p Р p q...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Независимые события.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов