Реферат Курсовая Конспект
Геометрические уравнения Коши - раздел Науковедение, Исследование напряженно-деформированного состояния Из Уравнений Коши (3.2) Видно, Что В Произвольной Точке Стержня Три Компонент...
|
Из уравнений Коши (3.2) видно, что в произвольной точке стержня три компоненты деформации не равны нулю
(4.4)
а остальные три компоненты равны нулю
(4.5)
Вследствие того, что компоненты перемещений (4.3) не зависят от переменной z, то компоненты деформаций (4.4) и напряжений будут также функциями только двух переменных .
Физические уравнения – закон Гука
(4.6)
Из третьего уравнения в первом столбце (4.6) найдем напряжение
(4.7)
Исключим из уравнений (4.6)
Аналогично
Примем обозначения
Тогда
(4.8)
Отметим, что
Статические уравнения Навье
Из дифференциальных уравнений равновесия внутри тела (3.1) остается два:
(4.9)
Третье уравнение (3.1) обращается в тождество, т. к. входящие в него напряжения имеют следующий вид:
(4.10)
а интенсивность объемных нагрузок, параллельных оси z, равна нулю, т. е. .
Три уравнения равновесия на поверхности тела (3.6), учитывая, что для боковой поверхности и выполняется условие (4.10), превращаются в два условия:
(4.11)
Итак, восемь уравнений (4.4), (4.8), (4.9) содержат восемь неизвестных функций:
Три компоненты деформации выражаются через две функции . Следовательно, они не могут выбираться произвольно и должны удовлетворять уравнениям сплошности деформаций Сен-Венана (3.3). Дважды дифференцируя первое уравнение (4.4) по , а второе – по , а затем складывая их, получим
которое, если учесть третье уравнения (4.4), является одним из шести условий сплошности Сен-Венана
(4.12)
Из шести условий сплошности (неразрывности деформаций) Сен-Венана остаётся только уравнение (4.12), а остальные тождественно удовлетворяются. Для тела, подчиняющегося закону Гука (4.8), это условие можно выразить в напряжениях:
(4.13)
где называется оператором Лапласа или гармоническим оператором.
Если ограничиться исследованиями задач, в которых объемные силы не зависят от координат, то условие сплошности (4.13) упрощается и принимает вид:
(4.14)
Таким образом, для трех компонент напряжений при плоской деформации в случае объемных нагрузках имеем три уравнения:
(4.15)
Для цилиндрического тела большой длины, к которому приложены нагрузки (4.1) и (4.2), решение задачи о плоской деформации имеет значение даже и в том случае, если концы стержня будут перемещаться в направлении оси .
Действительно, если определены напряжения в сечениях стержня при , то можно определить главный вектор и главный момент внешних сил, приложенных к торцам. Теперь наложим на решение, соответствующее плоской деформации, решение задачи методами сопротивления материалов под действием сил, равных по величине и противоположных по направлению главному вектору и главному моменту сил, возникающих при плоской деформации, на торцах.
Очевидно, что при этом получаем решение задачи о напряжениях в теле, к которому приложены нагрузки по боковой поверхности (4.1) и по объему (4.2), а на торцах нагрузки статически эквивалентны нулю. Согласно принципу Сен-Венана для достаточно длинного тела на участках, удаленных от торцов, полученное решение будет справедливо и в том случае, если торцы тела будут свободны и от закреплений, и от нагрузок.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Задача... Исследование напряженно деформированного состояния... в точке тела Цель решения этой задачи усвоение основ теории напряжений и деформаций...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Геометрические уравнения Коши
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов