Реферат Курсовая Конспект
Неравноточные наблюдения - раздел Образование, Оценивание числовых характеристик и параметров распределения случайных объектов Пусть Характеристики Точности Наблюдений От Опыта К Опыту Изменяются Так, Что...
|
Пусть характеристики точности наблюдений от опыта к опыту изменяются так, что наблюдаемая в i-м опыте случайная величина имеет дисперсию
, .
При этом среднее значение случайной величины от опыта к опыту не изменяется:
, .
В данном случае оценка математического ожидания случайной величины по-прежнему будет являться функцией случайной выборки:
.
Необходимо так выбрать вид этой зависимости, чтобы оценка имела простое аналитическое выражение и была несмещённой, состоятельной и эффективной.
Так как наиболее простой функциональной зависимостью является линейная, то будем искать оценку в классе линейных функций:
. (5.1.5)
Очевидно, что теперь решение поставленной задачи состоит в отыскании значений коэффициентов ci, линейной формы (5.1.5), при которых оценка будет удовлетворять всем трём указанным выше требованиям.
1. Чтобы оценка была несмещённой, должно выполняться равенство
.
Поскольку в этом случае
,
то коэффициенты ci должны удовлетворять условию
.
2. Для того чтобы оценка была эффективной, её дисперсия
(5.1.6)
должна быть минимальной при условии, что
. (5.1.7)
Условный экстремум (минимум) функции (5.1.6) с переменными c1, c2,…, cn отыскиваем методом неопределённых множителей Лагранжа. При этом учитываем, что должно выполняться равенство (5.1.7). Следовательно, исследуем на минимум вспомогательную функцию
,
где l – неопределённый множитель Лагранжа.
Решаем систему n уравнений
,
относительно переменных c1, c2,…, cn и получаем
.
Таким образом, вес ci, с которым должен входить результат i-го наблюдения в формулу для оценки , должен быть обратно пропорционален его дисперсии. Иными словами, чем точнее наблюдение, тем с бо́льшим весом необходимо учитывать его результат. Вывод, полученный формально, полностью согласуется с вербальными рассуждениями: чем точнее наблюдение, тем больше ему следует доверять.
Поскольку , то и, следовательно,
. (5.1.8)
Обозначим 1/Di = di, тогда (5.1.8) представляется как и
, . (5.1.9)
Таким образом, выражение для оценки (5.1.5) будет иметь вид
. (5.1.10)
Оценка вида (5.1.10) является эффективной, так как получена на основе требования минимума дисперсии.
3. Минимальная дисперсия несмещённой оценки
, (5.1.11)
а её среднее квадратическое отклонение
.
Поскольку di = 1/Di = const, , то из выражения (5.1.11) вытекает, что при неограниченном возрастании количества наблюдений l ® 0. Следовательно, сходится по вероятности к , т.е. является состоятельной оценкой математического ожидания .
Частный случай. Предположим, что все наблюдения равноточны. Это означает, что , , , и тогда
Получим результат как и в пп.5.1.1 – оценкой математического ожидания случайной величины является её статистическое среднее .
П р и м е р 5.3. Дальность до центра масс ракеты измеряется тремя методами, точность которых характеризуется средними квадратическими отклонениями = 0,2 км, = 0,5 км, = 1 км. Измерения дальности этими методами дали следующие результаты: x1 = 10,0 км; x2 = 9,5 км; x3 = 10,8 км.
Найти оценку математического ожидания дальности и среднее квадратическое отклонение этой оценки.
▼ По условию задачи
, , .
Далее согласно равенствам (5.1.9)
, ,
По формуле (5.1.5) получаем
.
В соответствии с выражением (5.1.11)
км2, .
▲
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
На сайте allrefs.net читайте: "Оценивание числовых характеристик и параметров распределения случайных объектов"
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Неравноточные наблюдения
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов