Изоморфизм конечномерных векторных пространств - раздел Образование, Определение, примеры и простейшие свойства линейных пространств Азн.9.1. V, U-Линейные Пространства Над P. F...
Азн.9.1.V, U-линейные пространства над P. f: V→U- линейное отображение. Когда f - биекция, тогда f называется изоморфизмом.
Пример 9.2. 1) - тождественное отображение. Биективность очевидна. Раньше показано, что линейно. 2) .Биективность очевидна.
Св-во 9.3. Когда f:V→U- изоморфизм линейных просторов, тогда f -1: V→U- также изоморфизм линейных просторов. Доказательство. Поскольку f - биекция ,тогда f -1- существует и является биекцией. Надо доказать, что f-1- линейное отображение. UP существуют единственные V такие, что и . При этом заметим, что и . Тогда
. n
Опр. 9.4. Если существует изоморфизм линейного пространства f:V→U, то говорят, что пространства V и U изоморфны и пишут .
Теорема 9.5. Отношение быть изоморфными - отношение эквивалентности на множестве линейных просторов над P. Доказательство. 1) (рефлексивность) VV по 9.2.1; 2) (симметричность) VUUV по 9.3;
3) (транзитивность) Пусть VU і UW , а V U і UW - соответственные изоморфизмы, тогда отображение VW линейное па 8.11 и является биекцией, как композиция биекций, значиться является изоморфизмом и VW.n
Теорема 9.6. Когда dimpV=n, тогда VP (изоморфно).Доказательство. Пусть dimpV=n , фиксируем базис в V. Тогда произвольный V мои в этом базисе координаты . Зададим отображение f: V→Pn:. Поскольку разные векторы в данном базисе имеют разные координаты, f является инъективным отображением. Для произвольного столбца Y=Pn рассмотрим вектор . Очевидно, что , значиться, отображение f - сюрьективное, из чего следует, что f - биекция. n
Следствие 9.7. Все пространства размерности n над полем Р изоморфно. Доказательство: По 9.6. они все изоморфны Р. По 9.5. они изоморфны между собой n
Опр Пусть P поле Непустое множество V называется линейным пространством либо векторным пространством над P элементы V будем называть... На V задана бинарная алгебраическая операция которая называется сложением... quot Icirc V Icirc V что quot Icirc V...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Изоморфизм конечномерных векторных пространств
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Нулевой и противоположный векторы линейного пространства
Опр.1.1. Пусть P- поле. Непустое множество V называется линейным пространством (либо векторным пространством) над P (элементы V будем называть векторами, элементы P - скалярами
Ранг матрицы. Определение и свойства
Опр. 11.1. Ранг системы векторов векторов столбцов матрицы А как векторов арифметического пространства Pm, наз. рангом матрицы А и обозначается rang(A) или rangA.
Линейные алгебры
Азн 16.16.Линейной алгеброй над полем Р называется множество А, когда над А заданы операции сложения, умножения, а также заданное умножение элементов из А на скаляры (элемен
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Определение 18.8. Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, когда ее матрица диагональная.
Теорема 19.9. Для каждой квадратичной формы сущес
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов