Образец решения варианта

Образец решения варианта

Задание 1.

Коллинеарны ли векторы и , разложенные по векторам и , где

Решение:

1. Вычислим проекции векторов :

2. Два вектора коллинеарны, если их проекции пропорциональны, следовательно, проверим пропорциональность проекций векторов:

не коллинеарны.

Задание 2.

Перпендикулярны ли векторы ?

Решение:

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0, вычислим скалярное произведение:

векторы не перпендикулярны.

Задание 3.

Компланарны ли векторы ?

Решение:

Три вектора компланарны, если смешанное произведение векторов равно 0, вычислим смешанное произведение векторов:

векторы не компланарны.

Задание 4.

Найти угол между векторами где

Решение:

Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:

Задание 5.

Даны точки:

Найти:

1. пр;

2. пр;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9.;

10. ;

11.;

12. орт вектора .

Решение:

1. Проекция вектора на вектор вычисляется по формуле:

прнаходим проекции векторов:

вычисляем скалярное произведение векторов и длину вектора:

пр

2. Находим проекции векторов:

пр;

3. Находим проекции векторов:

;

4. Находим проекции векторов:

;

5. ;

 

6.

 

7. Векторное произведение векторов вычисляется по формуле: где ;

8.

;

9. Смешанное произведение векторов вычисляется по формуле:, где ;

10.

;

11. ;

12. Орт вектора , так как орт- это вектор единичной длины

необходимо каждую проекцию вектора разделить на его длину.

Задание 6.

Даны координаты вершин пирамиды:

Вычислить:

1. объем пирамиды;

2. длину ребра ;

3. площадь грани ;

4. угол между ребрами и .

Решение:

1. Объем пирамиды вычисляется по формуле:

;

2. Длина ребра

;

3. Площадь грани вычисляется по формуле:

;

4. Угол между ребрами ивычисляется по формуле:

Задание 7.

Имеет ли смысл выражение ? Обосновать.

Решение:

Выражение смысла не имеет, так как складывать числа с векторами нельзя: в результате скалярного призведения получим число, затем мы должны сложить вектор с результатом скалярного произведения (число), что не возможно.

Задание 8.

Придумать исходные данные на указанные типы задач векторной алгебры и решить их.

Решение:

Рассмотрим одну из указанных задач, например, задачу 8,3:

Дано: тупой, <0,

Найти: .

Решение:

По условию:

Итак, получили систему трех уравнений с тремя неизвестными, решением которой и будут проекции исходного вектора:

по формулам Крамера находим отношение коэффициентов:

.

Условиевыполняется при то есть

Ответ:

 

Второй способ решения:

 

По условию:

 

 

Найденные значения подставим в условие , найдем так, что бы .

Итак:

Так как по условию то

Итак:

 

Ответ:

Задания для индивидуальной контрольной работы

 

 

Задание 1

 

Коллинеарны ли векторы и, разложенные по векторам и?

 

Задание 2

 

Перпендикулярны ли векторы и ?

 

Задание 3

 

Компланарны ли векторы ?

 

Задание 4

 

Найти угол между векторами и .

 

Задание 5

 

Даны координаты точек Вычислить:

1) пр;

2) пр;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

 

11) ;

12) орт вектора ;

 

Задание 6

 

Даны координаты вершин пирамиды . Вычислить:

1) объем пирамиды;

2) длину ребра ;

3) площадь грани ;

4) угол между ребрамии ;

 

Задание 7

 

Имеет ли смысл выражение ? Обосновать.

 

Задание 8

 

Придумать исходные данные на указанные типы задач векторной алгебры и решить их.

 

 

8.1 Дано: острый (или с любой другой осью, тупой или острый), , где произвольное число.

Найти:

 

 

8.2 Дано: .

Найти:

 

 

8.3 Дано: тупой(острый или с любой другой осью),

Найти:

 

 

8.4 Дано: (любой другой оси),

Найти:

 

 

8,5 Дано: , где произвольные числа.

Найти:

 

ВАРИАНТ 19

 

 

1.19

2.19

3.19

4.19

5.19

6.19

7.19 пр