ОТВЕТЫ НА БИЛЕТЫ К КОЛЛОКВИУМУ ПО ВМ-2 (2-Й СЕМЕСТР).

Программа коллоквиума по ВМ-2 группы А-1,2,15-05 2 семестр

1.Функции многих переменных. Основные определения. Предел, непрерывность (определения на языке "e-d" и на языке последовательностей). Бесконечно большие и бесконечно малые функции.

3.Частные производные функции многих переменных. Определение, геометрический смысл частной производной.

4.Дифференцируемость функции многих переменных. Существование частных производных у дифференцируемой функции. Непрерывность дифференцируемой функции.

5.Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных. Понятие полного и частного дифференциалов. Использование первого дифференциала в приближенных вычислениях.

6.Теорема о дифференцировании сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

7.Производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.

8.Дифференциалы высших порядков. Определение, вычисление. Неинвариантность дифференциалов порядка выше первого.

9.Касательный вектор к кривой. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл первого дифференциала.

0.Неявная функция одной переменной, определяемая одним уравнением. Теорема о существовании и непрерывности неявной функции.

11.Неявная функция одной переменной, определяемая одним уравнением. Теорема о дифференцируемости неявной функции.

10.Неявная функция от нескольких переменных, определяемая одним уравнением. Теорема о существовании и дифференцируемости (без доказательства).

12.Неявные функции от нескольких переменных, определяемые системой уравнений. Теорема о существовании и дифференцируемости (без доказательства).

13.Формула Тейлора для функции многих переменных.

14.Экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума.

15.Экстремум функции многих переменных. Достаточные условия экстремума. Использование критерия Сильвестра для определения экстремума.

16.Экстремум функции многих переменных. Достаточные условия отсутствия экстремума. Алгоритм нахождения экстремума.

17.Условный экстремум функции многих переменных с несколькими уравнениями связи. Определение точек, "подозрительных" на условный экстремум, без использования метода неопределенных коэффициентов Лагранжа.

18.Теорема о необходимых условиях условного экстремума функции многих переменных с одним уравнением связи (без использования метода неопределенных коэффициентов Лагранжа, с доказательством ).

19.Метод неопределенных множителей Лагранжа поиска условного экстремума с несколькими уравнениями связи (с доказательством). Формулировка аналогичной теоремы для случая одного уравнения связи.

20.Достаточные условия наличия условного экстремума. Алгоритм поиска условного экстремума.

ОТВЕТЫ НА БИЛЕТЫ К КОЛЛОКВИУМУ ПО ВМ-2 (2-Й СЕМЕСТР).

БИЛЕТ 1.Функции многих переменных (ФМП). Основные определения. Предел функции многих переменных ( два определения ). Связь между повторными и двойными пределами.

Бесконечно малые функции.

Пусть: ), ; ,

Будем по определенному закону любой точке ставить в соответствие некоторое число из множества : . Тогда говорят, что на множестве определена однозначная функция ; причем - область определения функции , - область значений функции , - независимые переменные, - зависимая переменная

 

Определения:

1) ;

2) мерным шаром с центром в точке и радиусом назовем множество :

3). - окрестность точки : назовем шар :

4). «Выколотая» окрестность точки

5). Точка называется внутренней точкой множества , если

 

6). - открытое множество, если все его точки являются внутренними.

7). Точка называется граничной точкой множества , если содержит как точки множества , так и не принадлежащие .

 

 

8). Множество всех граничных точек называется границей множества. - граница множества

9). Точка называется предельной точкой множества (точкой сгущения), если в окрестности точки содержится хотя бы одна точка множества . Очевидно, что все граничные точки являются точками сгущения.

10). Множество, содержащее все свои предельные точки называется замкнутым:

(замыкание множества = присоединение предельных точек).

11). Пусть - некоторые непрерывные функции. Находим , .

Множество, состоящее из всех точек назовем непрерывной кривой.

12). Область называется односвязной (связной), если две точки области можно соединить непрерывной кривой, целиком .

 

Определение (предел на языке )

Пусть точка - точка сгущения множества =(не обязательно . Пусть . Лишь только . Тогда говорят, что в точке существует предел и он равен .

==

Определение: , еслипри . Очевидно, можно записать и так:

, если . .

Определение:(предел на языке последовательностей).

Пусть точка - точка сгущения множества . Пусть выполнено . Тогда говорят, что :

==

Два определения предела эквивалентны.

 

Билет 2. Непрерывность функции многих переменных. Различные определения непрерывности. Свойства непрерывных функций.

 

Непрерывные функции.

Пусть . =. - внутренняя точка множества(точка сгущения)

Определение 1.

1), -внутренняя точка 2) 3)

Неинвариантность дифференциалов порядка выше 1-го.

, .

Докажем, что , то есть форма второго дифференциала зависит от того, являются ли переменные зависимыми или нет.

= {так как первый дифференциал инвариантен}=

+

+ .

Если бы были независимы, то форма второго дифференциала неинвариантна.

 

Частный случай:

.

 

 

БИЛЕТ 9.Касательный вектор ко кривой. Касательная плоскость к поверхности. Нормаль к поверхности. Геометрический смысл первого дифференциала.

 

1) Касательный вектор.

, где

Фиксируем . Придадим

,

Пусть . Тогда мы видим, что вектор направлен по касательной к кривой ,

. Вектор направлен по касательной к кривой .

 

2) Касательная плоскость к поверхности .

 

Пусть задана поверхность

Пусть точка - произвольная на поверхности

Проведем через точку кривую :

Строим - касательный вектор в точке к кривой .

, где

Но . Функции одной переменной (. , где .

Вектор grad S направлен по нормали к поверхности в точке.

Соотношение верно для любой кривой , проходящей через точку , целиком

лежащей на поверхности . Касательная плоскость к

в точкеимеет уравнение:

-нормаль к поверхности в точке .

- уравнение нормали.

 

Замечание:

1). Пусть задана явно:

Касательная плоскость: +-

Нормаль:

2). касательная плоскость не существует и одна из производных не существует.

 

Геометрический смысл.

, Пусть касательная плоскость к поверхности в точке .

1. .

1). Поиск стационарных точек.

стационарная точка.

2)

. , . является положительноопределенной квадратичной формой в точке минимум.

2.

Очевидно, что минимум в точке .

Стационарная точка

.

Рассмотрим формулу Тейлора в точке .

= 0 = 0 = 0

Получаем, что - точка минимума.

Может также оказаться, что не является знакоопределенной, является полуопределенной: , но может быть , не только при всех . Это сомнительный случай. Тогда следует применить формулу Тейлора до более высокого, чем порядка, или использовать геометрические соображения.

 

 

БИЛЕТ 17.Постановка задачи об условном экстремуме. Решение задачи без использования метода неопределенных множителей Лагранжа.

Пусть есть

- условия связи.

.

 

Определение: Говорят, что в точке функция имеет условный минимум (максимум) при условиях связи (*), если существует окрестность , такая, что выполнено условие . .

 

Пусть функции имеют непрерывные частные производные по всем переменным в некоторой окрестности рассматриваемой точки .

произв. в точке .

Пусть минор того порядка . Пусть для определенности

в точке . Из теоремы о существовании и дифференцируемости неявных функций, называемых системой уравнений существует окрестность точки , в которой существуют и дифференцируемы неявные функции:

, определяемые системой уравнений (*).

1. Пусть могут быть выписаны неявно. Тогда задача об условном экстремуме функции при условиях связи (*) сводится к задаче об обычном экстремуме сложной функции

.

 

2. Пусть не удается явно выписать . Но мы знаем, что существуют и дифференцируемы. Вычислим .

. Здесь - дифференциалы некоторых функций. Поэтому можем сделать вывод о том, что в точке условного экстремума

берем дифференциал от левой и правой части, используем инвариантность 1-го дифференциала.

 

В окрестности точки

(V).

Рассмотрим систему (**) как систему для определения , (неизвестных, уравнений). Определитель этой системы совпадает с определителем (V), решения существуют.

Находим

. Подставим в .

Получим

. Но теперь - дифференцируемые, линейно-независимые переменные.

- уравнений.

Итог: чтобы найти точку, подозрительную на условный экстремум, в случае 2. надо составить систему:

 

, выразить через , подставить в , получить уравнений + уравнений связи. Получим систему из уравнений относительно координат точки возможного условного экстремума.

 

БИЛЕТ 18.Решение задачи об условном экстремуме в случае одного условия связи. Теорема о необходимых условиях наличия условного экстремума в этом случае.

,

Теорема:

1) Пусть функции имеют в окрестности рассматриваемой точкинепрерывные производные 1-го порядка по всем переменным.

2)

3) -точка условного экстремума.

Тогда:

в точке .

Доказательство:

-точка условного экстремума. существует неявная, дифференцируемая функция , более того (V) задача об условном экстремуме сводится к задаче об обычном экстремуме сложной функции.

все производные функции в точке должны быть равны нулю.

Подставим (V)

.

 

БИЛЕТ 19.Метод неопределенных множителей Лагранжа решения задачи об условном экстремуме.

Теорема:

Пусть

1) является точкой условного экстремума для функции при условиях связи (*):

2) Функции , имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным в некоторой окрестности точки .

3) в точке .

Тогда существуют числа : точка является стационарной точкой функции Лагранжа.

.

Доказательство:

1) Вычислим

- соотношений (V).

Берем такими, чтобы все производных (V) были равны нулю в точке .

(VV).- система из уравнений относительно .

Определитель СЛАУ (VV) совпадает с Якобианом. действительно существуют. Фиксируем - решение системы (VV).

2) Докажем, что если , то и в точке .

Дополнительное рассуждение:

1. -точка условного экстремума ее координаты удовлетворяют условиям связи

2. в некоторой точке существуют и дифференцируемы неявных функций от переменных

3. - точка условного экстремума функции при условиях связи сложная функция

имеет безусловный экстремум в

(1)

4. Аналогично производные от сложных функций по всем

, так как

, (2)

Вернемся к доказательству теоремы.

{из (1)} = {взяты так, что (VV) верна. Выразим }={}=

. (=0 из (2))

Вывод: если взять - решения системы (VV), то

уравнений, переменных.

Система уравнений относительно , , которые являются необходимым условием того, что - точка условного экстремума.

 

Замечание: (VV) дает необходимое условие для (**) условного экстремума- мы находим подозрительную точку на условный экстремум.

 

Часто заранее известно что имеется условный экстремум подозрительная точка является точкой условного экстремума.

 

БИЛЕТ 20. Достаточные условия наличия условного экстремума. Алгоритм решения задачи об условном экстремуме.

Пусть - стационарная точка для ф.Лагранжа. Есть ли экстремум в точке

у функции -?

.

- квадратичная форма.

- дифференциалы независимых переменных

- дифференциалы от неявных функций.

 

Берем дифференциалы от левой и правой частей (*). Получим, подставив ,

СЛАУ:

. Если положительно определенная, то

- точка условного минимума.

Если же - точка условного максимума.

 

Алгоритм поиска точек условного экстремума.

Пример:

 

1)

,

- точки возможного условного экстремума.

 

1.

,

условный минимум в точке .

 

2.

,

условный максимум в точке .