СВОЙСТВА

1. Если векторы некомпланарны и тройка правая, то смешанное произведение положительно, и , если эта тройка левая, и обратно.

2. тогда и только тогда, когда векторы , , компланарны.

3. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах.

4. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т. е. abc =-acb , abc =-bac , abc =-cba .

Выражение через координаты сомножителей

Формула:

смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

Геометрический смысл

объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен

УСЛОВИЕ КОМПЛОНАРНОСТИ

Условие компланарности векторов: три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.