Тригонометрические функции.

4 Определение тригонометрических соотношений с помощью окружности единичного радиуса.

Рассмотрим единичную окружность и две системы координат, начала которых совпадают с её центром.

1

2

Умножаем (1) на , (2) на и суммируем правые и левые части

.

Аналогично, умножив (1) на , (2) на и вычтя из (2) (1), получаем

.

Используя свойство четности косинуса и нечётности синуса

,

.

С помощью формул сложения углов находим формулы двойных углов

, ,

,

.

Далее формулы двойных углов позволяют определить выражения универсальной тригонометрической подстановки

,

.

Найдём формулы сложения и вычитания. Для этого используются полученные ранее формулы сложения и вычитания углов

и .

Суммируем данные выражения

. 3

Вводим новые переменные и , тогда и .

Подставляя новые переменные в (3) имеем

.

 

5 Использование комплексных чисел для определения соотношений между тригонометрическими функциями.

Показательную и тригонометрическую функции можно разложить в степенной ряд

,

,

.

Если ввести величину , то , и т.д., поэтому

.

Отношение (4) называется формулой Эйлера.

В силу четности косинуса и нечётности синуса имеем

. 5

Сложив (4) и (5), находим .

Аналогично, вычтя из (4) (5), имеем .

Формулы сложения углов

Формулы сложения и вычитания

 

 

3) Комплексные числа в физике.

Комплексные числа применяются во многих областях физики и математики.

Для лучшего понимания комплексных чисел я предлагаю вам изучить методы решения кубического уравнения. Физики, как правило, используют комплексные числа для упрощения операций, производимых с тригонометрическими функциями.

Например, нам надо сложить двадцать векторов одинаковой длины отстоящих друг от друга на угол .

Модули векторов обозначим . Первый вектор совпадает с осью 0X. Каждый последующий вектор отстоит на угол , поэтому их можно представить в комплексном пространстве в виде

, , …, .

Результирующий вектор

6

Выражение (6) можно проверить, поделив числитель на знаменатель. Далее произведём ряд преобразований

7

В (7) мы воспользовались уже известной формулой для синуса . Комплексный множитель в (7) определяет угол между результирующим вектором и действительной осью. После проделанных преобразований мы можем записать следующие параметры результирующего вектора , , .

4) Функции комплексного аргумента. Обратные тригонометрические функции.

Комплексным числом называется выражение вида , число называется действительной частью, – мнимой. Действительная часть числа обозначается , мнимая . Комплексное число можно изобразить точкой (или вектором) в прямоугольной системе координат, оси которой имеют одинаковый масштаб (рис). Полярные координаты () определяют модуль и аргумент комплексного числа. Аргумент определён неоднозначно, так как функция имеет бесконечное число значений, поэтому для аргумента можем записать

, .

Декартовые координаты связаны полярными и , откуда получаем тригонометрическую форму комплексного числа

.

Рассмотрим функцию комплексного аргумента , .

Натуральный логарифм комплексной переменной имеет множество значений.

, , . Умножим правую и левую части уравнения на

. Вводим новую переменную и решаем квадратное уравнение

. Логарифмируя правую и левую части, получаем

, откуда . Соотношения между обратными тригонометрическими функциями.1) и . К формулам можно прийти логически, рассмотрев единичную окружность.

2) , , , . Откуда следует .

Аналогично , и .

3) Очевидно, для возможны аналогичные отношения и

 

7 Обратная функция.

Если из соотношения вытекает соотношение , то функция называется обратной относительно функции .

Примеры. 1. Рассмотрим движение поезда. Функция определяет зависимость пути от времени. Данную зависимость использует машинист: он должен следовать расписанию, в определённый момент времени быть в некотором пункте A. Для пассажира более интересна обратная зависимость – в пункте A он будет в момент времени . 2. При градуировке приборов, например амперметра или вольтметра, используются зависимости или угла поворота стрелки измерительного прибора от протекающего тока или действующего напряжения. При измерении тока или напряжения обратные зависимости или .

Примеры обратных функций.

Здесь вопреки традиции сама функция обозначена , а аргумент .

У функции обратная двузначна (одному значению аргумента отвечают два значения функции), для тригонометрических функций обратные являются бесконечно многозначными. Как правило, обратные функции являются многозначными, исключение составляют монотонно возрастающие или убывающие функции. Для однозначного определения обратной функции необходимо рассматривать промежутки, где исходная монотонна.

Обозначение является обратной .

, , ,

, ,

.

Графики прямой и обратной функций связаны. Пусть мы имеем график функции , чтобы получить обратную функцию нужно ось 0Y сделать горизонтальной, а ось 0X вертикальной, то есть повернуть чертёж на 180° вокруг биссектрисы I и III координатных углов.

 

8. Параметрическое задание линий и функций.

Рассмотрим две функции аргумента

, .

В этом случае одна из них является функцией другой, например , . Величина называется параметром, а задание функции, используя , параметрическим. Если в качестве функций и рассматриваются координаты некоторой материальной точки , то имеем параметрическое задание линии. В качестве параметра при этом используется время либо функция времени. В физике параметрическая запись применяется при задании траектории и или в полярных координатах и .

 

10 Производная. Таблица производных.

Источником дифференциального исчисления были два вопроса:

1) о нахождении касательной к произвольной линии

2) о нахождении скорости при произвольном законе движения.

Производной функции в некоторой точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении к нулю:

.

(читается: де-игрек по де-икс)

Производная обратной функции равна единице, делённой на производную исходной функции

.

Производная функции, заданной параметрически

.

 

 

11 Производная степенной функции.

Рассмотрим выражение для степени суммы.

,

,

.

Общая формула ,

где , , , .

Определим производную степенной функции, когда показатель степени натуральное число

,

где величина, имеющая высший порядок относительно .

Рассмотрим обратную функцию .

Производная исходной функции .

Пользуемся определением производной обратной функции

.

Переходим к привычной форме записи

.

В общем случае показатель степени является дробным, степенную функцию при этом можно представить как сложную

.

.

Случай, когда показатель степени отрицателен

Найдём производную функции .

.

Рассмотрим общий случай для отрицательного показателя степени, степенную функцию представим как сложную

.

.

Теперь можно сделать вывод, что формула справедлива при любом рациональном .

 

12 Производная показательной и логарифмической функций.

По определению .

Найдём производную функции .

Обратная функция натурального логарифма .

Производная исходной функции .

Пользуемся определением производной обратной функции .

Переходя к аргументу , имеем .

Если основание степени и .

,

, дифференцируем правую и левую части

,

.

Дома. Используя формулу нахождения производной обратной функции доказать .

 

6) Производная тригонометрических функций.

.

Обратная функция.

.

, .

.

Дома. Найти формулы для определения производных следующих функций , , , , , .