Тензоры.

24 Момент инерции. Теорема Штейнера.

Найдём кинетическую энергию вращающегося тела.

Скорости различных участков тела различны, но тело можно разбить на малые элементы массами , скорости которых . Кинетическая энергия элемента тела , всего тела

.

– момент инерции.

Переходя к пределу .

Найдём момент инерции относительно двух параллельных осей. Оси перпендикулярны плоскости рисунка и проходят через точки О и А.

,

.

Умножим правую и левую части на и проинтегрируем

.

По определению положение центра масс , это выражение эквивалентно , и .

Также используем определение момента инерции, в итоге имеем

.

Если ось 0 проходит через центр масс тела , получаем теорему Штейнера

.

 

 

25 Тензор инерции относительно точки.

Вычислим момент инерции относительно произвольной оси ОА, ось проходит через начало координат.

. 1 Единичный вектор вдоль оси ОА . 2

Проекция вектора на ось ОА . 3 Возведём (3) в квадрат

4

Также мы используем следующие отношения

, 5 . Выражение (6) справедливо, так как вектор единичный.

После подстановки (4) и (5) в (1) .

Используем выражение (6) ,

. 7

Выражение (7) можно записать иначе ,

где , , , , , – компоненты тензора инерции тела относительно точки О.

Тензор можно представить в виде матрицы (в матричной форме)

, или в более компактной форме .Матрица является симметричной, так как , , .

Пример 1. Найти тензор инерции тонкого кольца радиуса относительно точки О, находящейся в центре кольца.

Выберем систему координат, начало которой в центре кольца, а плоскость кольца совпадает с плоскостью XY.

Найдём компоненты тензора. В нашем случае для всех элементов кольца, поэтому компоненты тензора инерции

, , , , , .Проекции точек кольца на оси координат , , масса элемента кольца , – линейная плотность.

Найдём компоненты тензора

,

,

,

.

Тензор инерции относительно точки О

.Все недиагональные элементы выпали, так как ось симметрии совпадает с одной из координатных осей.Зная тензор инерции тела относительно точки О, можно найти момент инерции тела относительно любой оси, проходящей через точку О.

Например, если компоненты единичного вектора вдоль оси вращения , , , то .

Если , , , то .

Это известные формулы для случаев, когда ось вращения проходит через центр кольца: 1) перпендикулярно плоскости кольца; 2) лежит в плоскости кольца.

Если ось вращения лежит в плоскости YZ и наклонена под углом к оси 0Y, тогда , , и момент инерции

.

Пример 2. Найти тензор инерции тела, представляющего четверть кольца, относительно точки проходящей через центр кольца.

Найдём компоненты тензора

,

, ,

Тензор инерции

.Минимален момент инерции будет, когда компоненты единичного вектора вдоль оси вращения , , .

.

Максимальный вклад недиагональный элемент тензора даёт при , , .

.Если четверть кольца расположить симметричноотносительно одной из координатных осей (X или Y), то все недиагональные элементы тензора будут равны нулю.

Для всякого твёрдого тела, где бы ни было выбрано начало координат, существуют три взаимно перпендикулярные оси, для которых недиагональные элементы тензора инерции обращаются в нуль.

 

3) Тензоры в физике.

Предположим, мы имеем две векторные физические величины, направленные произвольно.

Если изменять величину будет изменяться величина и направление , то есть между и имеется функциональная зависимость, выражающая некоторый физический закон. Встаёт вопрос: В какой форме записывать данный закон? Это более сложная форма зависимости, чем у законов, изучаемых в школе, например направления векторов совпадают.

Из математики известно, что связь между двумя векторными величинами и определяется системой

,

,

. Вектор однозначно определяет , если известна матрица .

Эту матрицу называют тензором второго ранга. Физические законы, описывающие зависимости между двумя непараллельными векторами существуют.

Пример 1. Тензор электропроводности.

Рассмотрим анизотропную среду, удельная электрическая проводимость в трёх направлениях различна , , . Мы создаём электрическое поле и определяем плотность тока. Закон Ома в дифференциальной форме . Мы можем найти проекции плотности тока в трёх направлениях , , . Зная проекции, находим плотность тока . Вектора и имеют различные направления.

Пример 2. Тензор инерции.

Вам известно основное уравнение динамики вращательного движения . Предположим, что тело может произвольно вращаться вокруг некоторой точки (или более общий случай тело не закреплено). Если приложить вращательный момент относительно этой точки, то угловое ускорение не будет совпадать по направлению с . Причина – ассиметричное распределение вещества относительно точки. Формула , когда скаляр, справедлива только, если тело вращается вокруг оси, направление которой не может изменяться.

Тензоры позволяют описывать свойства пространства и свойства среды.

Пример. Метрика пространства. Метрический тензор.

Пусть мы имеем некоторую криволинейную систему координат . Радиус-вектор, проведённый из начала координат в некоторую точку, является функцией криволинейных координат . Касательные к осям криволинейных координат в точках (), () и () параллельны векторам основного базиса , и , они образуют систему координат , оси которой прямолинейны и в общем случае неортогональны. Ортогональные системы координат имеют взаимно перпендикулярные векторы основного базиса в любой точке пространства.

Дифференциал радиус вектора

,Поэтому расстояние между двумя бесконечно близкими точками

, где , и т.д.

Данное выражение определяет минимальное расстояние между двумя близкими точками в любом направлении. При определении метрических коэффициентов необходимо помнить, что , и неперпендикулярны, поэтому , , .Метрические коэффициенты образуют метрическую матрицу .Если система координат является ортогональной, то , , , поэтому метрическая матрица является диагональной.Найдём метрические коэффициенты для декартовой и цилиндрической систем координат, квадрат расстояния между двумя близкими точками при этоми.В декартовой , , , при .В цилиндрической , , , при .От понятия криволинейных координат, можно прейти к понятию криволинейного пространства, если предположить, что метрическая матрица определяет свойства пространств