Замечание

Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

Отсюда получаем, что

Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента.

 

53. В чем геометрический и механический смысл дифференциала?

Проведем к графику функции касательную в точке и рассмотрим ординату касательной для точки (Рис. 32).

Из рисунка , , из прямоугольного треугольника имеем: . Но согласно геометрическому смыслу производной получаем , . Таким образом, дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда точка получает приращение.

Механический смысл дифференциала заключается в том, что дифференциал пути равен приращению пути, полученному в предположении, что, начиная с данного момента времени , точка движется равномерно, сохраняя приобретенную скорость.

54. Найти дифференциал функции .

55. Перечислите свойства дифференциала.

Выражение производной через дифференциалы:

где индекс "х" при y' показывает, что производная берется по аргументу х. В то же время дифференциалы dy и dx можно брать по любому аргументу.

Выражение дифференциала через производную:

Используя его, можно записать свойства дифференциалов, используя свойства производной.

1. Постоянный множитель можно вынести за знак дифференциала:

2. дифференциал алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций

3. дифференциал произведения

4. дифференциал дроби (дифференциал частного)

5. дифференциал сложной функции

где d g(x), в свою очередь, можно дифференцировать дальше.

 

56. Докажите инвариантность формы первого дифференциала.

В случае, когда переменная у = f(х) была функцией независимой переменной х, мы имеем, по определению,

Dу = f’(х)Dх или d_хх = f’(х)d_хх (1)

Рассмотрим теперь случай, когда х является в свою очередь функцией другой переменной,

х = х(t).

Теорема. Если функции х = j(t) и у = y(t) дифференцируемы в соответствующих точках t = t­₁ и х = х₁ = j(t₁), то дифференциал сложной функции у = f(j(t)) = y(t) может быть представлен в виде

d_tу = f’(х₁) d_tх.

Доказательство: Согласно определению дифференциала имеем

d_tх = j’(t₁) d_tt (1¹)

d_tу = y’(t₁) d_tt (2)

Но на основании теоремы о производной сложной функции мы видим, что

y’(t₁) = f’(х₁) j’(t₁)

Подставив это выражение в формулу (2), получим:

d_tу = f’(х₁) j’(t₁) d_tt,

отсюда в силу формулы (1¹)

d_tу = f’(х₁) d_tх (3)

Сравнив формулу (1) с формулой (3), мы заметим что их можно записать символически в виде

dу = f’(х) dх (4)

Формулу (1) или (3) мы получаем из формулы (4), написав вместо d, соответственно d_х или d_t.

Символы dх и dу не являются совершенными, однако во многих случаях, когда возможность ошибиться будет исключена, мы будем ими пользоваться вместо символов d_хх и d_ху или, соответственно, d_tх и d_tу.

Значение формулы (4) становится ясным, если обратить внимание на то, что при отыскании производной приходится пользоваться двумя формулами для определения производной у по х. А именно, когда переменная у зависит непосредственно от х, то

у’_х = f’(х);

когда же зависимость переменной у от х даётся при помощи некоторой (промежуточной) функции и, то

у’_х = f’(и)и’_х.

При отыскании же дифференциалов получим в обоих случаях одинаковые формулы:

d_ху = f’(х) d_хх, d_ху = f’(и) d_хи

или

dу = f’(х) dх, dу = f’(и) dи.
^

57. Вычислить приближенно с помощью дифференциала .

58. Дать определение дифференциала порядка функции и формулу для его вычисления через производные этой функции.