Подходы к определению выпуклого многогранника

Подходы к определению выпуклого многогранника. После введения понятия многогранника в школе, как правило, рассматривают выпуклые многогранники. Удачным считается подход, когда сразу дается определение выпуклого многогранника и для него определяются элементы, что сделать легче. Изучение свойств как выпуклых многоугольников, так и выпуклых многогранников занимает очень большое место в школьном курсе геометрии.

Однако точный смысл понятия выпуклый в средней школе не раскрывается и причины, заставляющие требовать выпуклости рассматриваемых многоугольников и многогранников, нигде не объясняются. Учащиеся часто вообще не воспринимают смысла прилагательного выпуклый и лишь по привычке, машинально в ответ на предложение изобразить какой-либо четырехугольник рисуют фигуру, изображенную на рисунке l.4,а а иногда даже фигуру, изображенную на рис 1.4,б, а не фигуру, изображенную на рис l.4,в. При этом может показаться, что лишь недостаток общей математической культуры заставляет их считать все четырехугольники выпуклыми, подобно тому как наиболее слабые школьники иногда не в состоянии представить себе четырехугольника, отличного от прямоугольника рис. 1.4,б, параллелограмма или, в лучшем случае, от трапеции.

В некоторых случаях игнорирование условия о выпуклости многоугольника или многогранника оказывается даже совершенно законным - какую, например, ценность имеет оговорка о выпуклости в теореме сумма углов выпуклого n-угольника равна n - 2 .180 Условие этой теоремы полностью сохраняет силу и для невыпуклых простых многоугольников так, например, ясно, что сумма углов и невыпуклого четырехугольника рис. 1.4,в равна 360 . Правда, приводимое в школе доказательство теоремы справедливо лишь для выпуклых многоугольников.

Понятие выпуклого многогранника чаще всего вводят по аналогии с выпуклым многоугольником. Очень хорошо эта аналогия просматривается в учебнике Александрова 3 . Существует два способа определения выпуклого многогранника. Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой из ограничивающих его плоскостей.

Такой подход принят в учебниках 4 и 22 . Либо многогранник называется выпуклым, если любые две его точки могут быть соединены отрезком. Такое определение дается в учебнике 28 . В учебнике 3 за основу берется второе определение и доказывается возможность другого в нашем случае первого определения.

Остановимся подробнее на втором определении. Чаще всего в геометрии рассматривают связные фигуры, т. е. такие, в которых любые две точки можно соединить линией, целиком принадлежащей этой фигуре. При этом соединяющая линия может оказаться довольно сложной рис 1.5 . Естественно выделить класс фигур, для которых в качестве линии, соединяющей две ее точки А, В, всегда можно выбрать самую простую линию - прямолинейный отрезок АВ. Такие фигуры называются выпуклыми. Фигура F называется выпуклой, если вместе с каждыми двумя точками А, В она целиком содержит и весь отрезок АВ. Примеры выпуклых фигур показаны на рис.1.6 на рис. 1.7 изображены некоторые невыпуклые фигуры.

Кроме плоских, можно рассматривать пространственные выпуклые фигуры их обычно называют выпуклыми телами. Примерами могут служить тетраэдр, параллелепипед, шар, шаровой слой и другие. Выпуклые тела в пространстве можно определить как пересечение некоторого множества полупространств. Простейшими выпуклыми телами являются те, которые можно представить в виде пересечения конечного числа полупространств.

Такие выпуклые тела называются выпуклыми многогранниками. Свойство, положенное в основу определения выпуклых фигур существование в фигуре прямолинейного отрезка, соединяющего любые две ее точки, с первого взгляда может показаться несущественными, даже надуманным. В действительности же выделяемый этим определением класс выпуклых фигур является весьма интересным и важным для геометрии. Дело в том, что произвольные геометрические фигуры могут быть устроены необычайно сложно.

Например, определить, находится ли точка А внутри или вне замкнутого многоугольника, изображенного на рис1.8, совсем не просто. Если же рассматривать фигуры, не являющиеся многоугольниками, то можно столкнуться и с гораздо большими сложностями. Существует, например, плоская фигура, ограниченная не пересекающей себя замкнутой линией и в то же время не имеющая ни площади, ни периметра. Для выпуклых фигур такие чудовищные явления не могут иметь места внутренняя область выпуклой фигуры сравнительно просто устроена, любая ограниченная плоская выпуклая фигура обладает определенными площадью и периметром, а пространственное выпуклое тело - объемом и площадью поверхности и т. д. Таким образом, выпуклые фигуры составляют класс сравнительно просто устроенных фигур, допускающих изучение геометрическими методами.

С другой стороны, класс выпуклых фигур является достаточно обширным. Так, все фигуры и тела, рассматриваемые в элементарной геометрии, либо являются выпуклыми, либо представляют собой несложные комбинации выпуклых фигур и тел. 6 1.3