Методика изучения многогранников в школьном курсе стереометрии

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Вятский государственный гуманитарный университет Математический факультет Кафедра математического анализа и МПМ Выпускная квалификационная работа Методика изучения многогранников в школьном курсе стереометрии Выполнил студент V курса математического факультета Коноплева Елена Александровна Научный руководитель кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и МПМ И.В. Ситникова Рецензент кандидат педагогических наук, старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ З.В. Шилова Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии 2005 г. Зав. кафедрой М.В. Крутихина 2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина Киров 2005 Содержание Введение 3 1. Подходы к определению многогранника и его видов 1. Подходы к определению многогранника 2. Подходы к определению выпуклого многогранника 3. Подходы к определению правильного многогранника 2.Изучение темы Многогранники в школьном курсе стереометрии 1. Изучение темы в учебнике Атанасяна Л.С. 2. Изучение темы в учебнике Смирновой И.М. 3. Изучение темы в учебнике Александрова А.Д. 3. Виды и роль наглядных средств при изучении многогранников 4. Опорные задачи при изучении темы Многогранники 1. Задачи по теме Призма 2. Задачи по теме Пирамида 43 Заключение 51 Литература 52 Приложение 1. Опытное преподавание 55 Приложение 2. Различные доказательства теоремы Эйлера 58 Введение Тема Многогранники одна из основных в традиционном курсе школьной геометрии. Они составляют, можно сказать, центральный предмет стереометрии.

Изучение параллельных и перпендикулярных прямых и плоскостей, двугранных углов и другое, так же как введение векторов и координат все это только начала стереометрии, подготовка средств для исследования ее более содержательных объектов - главным образом тел и поверхностей.

Центральная роль многогранников определяется прежде всего тем, что многие результаты, относящиеся к другим телам, получаются исходя из соответствующих результатов для многогранников Достаточно вспомнить определение объемов тел и площадей поверхностей путем предельного перехода от многогранников.

Кроме того, многогранники сами по себе представляют чрезвычайно содержательный предмет исследования, выделяясь среди всех тел многими интересными свойствами, специально к ним относящимися теоремами и задачами.

Можно, например, вспомнить теорему Эйлера о числе граней, ребер и вершин, симметрию правильных многогранников, вопрос о заполнении пространства многогранниками и др. Многогранникам должно быть уделено в школьном курсе больше внимания еще и потому, что они дают особенно богатый материал для развития пространственных представлений, для развития того соединения живого пространственного воображения со строгой логикой, которое составляет сущность геометрии.

Уже самые простые факты, касающиеся многогранников, требуют такого соединения, которое оказывается при этом не совсем легким делом.

Даже такой простой факт, как пересечение диагоналей параллелепипеда в одной точке, требует усилия воображения, чтобы его увидеть наглядно, и нуждается в строгом доказательстве.

Более того, использование многогранников с самого начала изучения стереометрии служит различным дидактическим целям. На многогранниках удобно демонстрировать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, показывать применение признаков параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. Иллюстрация первых теорем стереометрии на конкретных моделях повышает интерес учащихся к предмету. Также одной из основных задач обучения математики является развитие у учащихся абстрактного мышления.

Этой цели в значительной мере способствует применение наглядных пособий, причем не только в младших классах, но и в старших. Широкие возможности для реализации этой цели предоставляет тема Многогранники, в частности, самостоятельное изготовление учениками наглядных пособий. В процессе изготовления моделей многогранников, кроме теоретических знаний и навыков, ученики закрепляют сформировавшиеся новые понятия при помощи чертежа и фактического решения задач на построение.

При самостоятельном изготовлении моделей образ создается по частям, в силу этого с ними можно производить различные манипуляции. При этом все их свойства и особенности легко познаются и прочно закрепляются в памяти учащихся. Цель работы рассмотреть особенности методики изучения темы Многогранники в курсе стереометрии 10-11 классов. Задачи работы 1 рассмотреть подходы к основным определениям данной темы многогранника, выпуклого многогранника, правильного многогранника 2 изучить изложение данной темы в школьных учебниках 3 выделить наглядные средства, которые могут быть применены при изучении многогранников 4 подобрать основные задачи для решения по данной теме 5 осуществить Опытное преподавание.

Гипотеза исследования изучение темы Многогранники в школе будет более успешным, если при подготовке к урокам учитель математики будет учитывать следующие моменты существующие подходы к определению понятия многогранник и правильный многогранник подходы к изучению темы в разных учебниках геометрии особенности изучения частных видов многогранников удачно подобранный задачный материал. Объект исследования процесс обучения геометрии в 10-11 классах средней школы.

Предмет исследования методика изучения многогранников. 1.

Подходы к определению многогранника и его видов

Поэтому данное определение можно пересказать и так многогранник - это ... Например, у Погорелова А.В. Все пространство тоже является телом - это единственное тело, не имеющ... Такие определения называют дескриптивными, т.е. Как и для многогранника, конструктивные определения можно дать многоуг...

Подходы к определению выпуклого многогранника

Чаще всего в геометрии рассматривают связные фигуры, т. Выпуклые тела в пространстве можно определить как пересечение некоторо... Простейшими выпуклыми телами являются те, которые можно представить в ... д. Таким образом, выпуклые фигуры составляют класс сравнительно просто ус...

Подходы к определению правильного многогранника

Поэтому интересно рассмотреть различные подходы к определению понятия ... В учебнике 22 вместо условия равенства правильных многоугольников треб... Последнее, что изучается в теме Многогранники в учебнике 4 , это симме... Основными понятиями здесь являются понятия симметричных точек относите... 3-5 Призма, параллелепипед.

Виды и роль наглядных средств при изучении многогранников

Прописные буквы Н, D и P соответствуют высоте, длине наибольшей диагон... В сечении - четырехугольник, сумма его углов S 180 4 - 2 360 . 7. Если в правильной треугольной пирамиде высота Н равна стороне основани... 6.

Заключение

Заключение Целью данной работы было рассмотрение особенностей методики изучения темы Многогранники в курсе стереометрии 10-11 классов.

В связи с чем были выполнены следующие задачи были рассмотрены различные подходы к определениям многогранника, выпуклого многогранника и правильного многогранника, а также были сделаны выводы о том, какие подходы целесообразнее использовать в школе. Кроме того, были рассмотрены особенности изучения темы в учебниках разной направленности общеобразовательной, гуманитарной, с математическим уклоном.

Были рассмотрены также различные средства наглядности, которые могут быть использованы при изучении данной темы. И, наконец, были подобраны опорные задачи, которые можно использовать на уроке при изучении данной темы. Таким образом, в данной работе были рассмотрены основные, общие моменты изучения многогранников в школьном курсе стереометрии. В следствие чего дальнейшие исследования могут проходить в направлении более детального изучения отдельных разделов данной темы, а также пропедевтического введения многогранников в курсе математики 5-6 классов.

Литература

Литература 1. Автономова Т.В. Основные понятия и методы школьного курса геометрии Книга для учителя. Т.В. Автономова, Б.И. Аргунов М. Просвещение, 1988. 2. Александров А.Д. Что такое многогранник? А.Д. Александров Математика в школе 1981 1-2. 3. Александров А.Д. Геометрия для 10-11 классов Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик М. Просвещение, 1992 464 с. 4. Атанасян Л.С. Геометрия Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений.

Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кодомцев и др М. Просвещение, 1998 207 с. 5. Бескин Л.Н. Стереометрия. Л.Н. Бескин М. Просвещение, 1971. 6. Болтянский В.Г. Выпуклые многоугольники и многогранники. В.Г. Болтянский, И.М. Яглом Математика в школе 1966 3. 7. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия Кн. для учителя. В.Г. Болтянский М. Просвещение, 1985 320 с. 8. Веселовский С.Б. Дидактические материалы по геометрии для 11 класса. С.Б. Веселовский, В.Д. Рябчинская М. Просвещение, 1998 96 с. 9. Глаголев Н.А. Геометрия Стереометрия.

Н.А. Глаголев, А.А. Глаголев М. Учпедгиз, 1958. 10. Джордж Пойа. Математическое открытие. Джордж Пойа М. Наука, 1976. 11. Земляков А.Н. Геометрия в 10 классе Метод. рекомендации к преподаванию курса геометрии по учеб. пособию А.В. Погорелова Пособие для учителя. А.Н. Земляков М. Просвещение, 1986 208 с. 12. Зив Б.Г. Задачи по геометрии Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений.

Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский М. Просвещение, 2000. 13. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы. Б.Г. Зив С Петербург, 1998. 14. Каченовский М.И. Математический практикум по моделированию. М.И. Каченовский М. Просвещение, 1959. 15. Киселев А.П. Геометрия Учебник для 9-10 классов средней школы. А.П. Киселев М. Учпедгиз, 1956. 16. Клопский В.М. Геометрия Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. В.М. Клопский, З.А. Скопец, М.И. Ягодовский Под. ред. З.А. Скопеца М. Просвещение, 1979. 17. Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники.

Л.А. Люстерник М. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. 18. Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы. Под. ред. А.И. Фетисова М. Просвещение, 1967. 19. Методика преподавания математики Общая методика. Составители Р.С. Черкасов, А.А. Столяр М. Просвещение, 1985. 20. Паповский В.М. Углубленное изучение геометрии в 10-11 классах Метод. рекомендации к преподаванию курса геометрии в 10-11 кл. по учеб. пособию А.Д. Александрова, А.Л. Вернера, В.И. Рыжика Кн. для учителя.

В.М. Паповский М. Просвещение, 1993 223 с. 21. Петрова Е.С. Теория и методика обучения математике Учеб метод. пособие для студ. мат. спец. В 3 ч. Ч. 1. Общая методика. Е.С. Петрова - Саратов Изд-во Сарат. ун-та, 2004 84 с. 22. Погорелов А.В. Геометрия Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. А.В. Погорелов М. Просвещение, 1990 384 с. 23. Преподавание геометрии в 9-10 классах. сб. статей сост. З.А. Скопец, Р.А. Хабиб М. Просвещение, 1980. 24. Саакян С.М. Изучение темы Многогранники в курсе 10 класса.

С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов. Математика в школе 2000 2. 25. Сверчевская И.А. Устные задачи по теме Призма. И.А. Сверчевская. Математика в школе 2003 6. 26. Сверчевская И.А. Устные задачи по теме Пирамида. И.А. Сверчевская. Математика в школе 2003 7. 27. Смирнова И.М. В мире многогранников Кн. для учащихся. И.М. Смирнова М. Просвещение, 1995 144 с. 28. Смирнова И.М. Геометрия Учеб. пособие для 10-11 кл. гуманит.

Профиля. И.М. Смирнова М. Просвещение, 1997 159 с. 29. Смирнова И.М. Об определении понятия правильного многогранника. И.М. Смирнова. Математика в школе 1995 3. 30. Смирнова И.М. Уроки стереометрии в гуманитарных классах. Изучение многогранников. И.М. Смирнова. Математика в школе 1994 4. 31. Ходеева Т. Свойства многогранников. Т. Ходеева. Математика 2002 11. Приложение 1. Урок повторения по теме Многогранники 10 класс. Урок был проведен в 10 классе после изучения основных многогранников перед изучением правильных многогранников и симметрии.

Цели 1 повторить основные виды многогранников призмы и пирамиды, их частные виды 2 повторить основные формулы для нахождения площади поверхности многогранников и его частных видов 3 решить задачи разного уровня сложности по данной теме с применением уже известных знаний по многогранникам. Оборудование справочная таблица Вычисление площадей и объемов многогранников, которая содержит 4 столбца вид многогранника, чертеж, площадь боковой и полной поверхности, объем готовые чертежи на отвороте доски для решения задач.

Ход урока 1 Организационный момент. 2 Актуализация знаний. Проводится фронтальная работа по таблице. Листочками на таблице закрыты названия многогранников, основные формулы и чертежи. Постепенно открываются чертежи, учащиеся по чертежу называют вид многогранника и основные формулы нахождения его полной и боковой поверхности. Колонка таблицы с формулами объема в работе не участвует, так как объем изучается в 11 классе.

Таким образом, учащиеся вспоминают все необходимые факты для решения задач. 3 Решение задач. На уроке предлагается решить две задачи по готовым чертежам устное решение, две задачи письменно с построением чертежа и дополнительную задачу более сильным ученикам. Задача 1. Дано ABCDA1B1C1D1 - куб. Найдите tg б. рис.1 . Задача 2.Дано DABC - правильная треугольная пирамида, DO ABC , AB 3 DO. Найдите б. рис2 . Задачи 1 и 2 имеют своей целью повторение некоторых фактов планиметрии и ранее изученных тем по стереометрии например, перпендикулярность прямой и плоскости и использование их в решении задач.

При решении задачи, как правило, затруднения не возникают, но можно решение задачи 2 записать в тетрадь что и было сделано на уроке. Задача 3. В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник ABC, C 90 , A 30 , BC 10. Боковые ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания. Высота пирамиды равна 5. Найдите ребра пирамиды и площадь боковой поверхности пирамиды.

Вычисление длины ребер в задаче 3 происходит без затруднений, площадь вычисляется немного сложнее. Но главная особенность данной задачи в том, что необходимо понять, куда падает высота и чем является ее основание. При проведении урока как раз этот момент и вызвал затруднение. Задача 4. В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основанием служит ромб. Сторона ромба равна a, BAD 60 . Диагональ параллелепипеда B1D составляет с плоскостью боковой грани угол 45 . Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Задача 4 сложна тем, что, во-первых, в ней не все данные представлены числами, во-вторых, сложности возникают при определении угла между B1D и плоскостью боковой грани задача была полностью разобрана на доске. Задача 5. дополнительная В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна a. Угол между смежными боковыми гранями равен 2б. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 4 Подведение итогов.

По мере решения задачи проверяются, в конце урока даются указания для решения пятой задачи. 12 , 13 Вывод урок поставленной цели достиг, учащиеся повторили основные виды многогранников, решили задачи разного уровня сложности, кроме того, повторили такие факты по планиметрии, как вычисление площадей многоугольников, и по стереометрии угол между плоскостями, между прямой и плоскостью и другие. В целом уровень сложности задач соответствовал уровню подготовки учеников, и больших проблем при решении задач не возникло.

Приложение2.

Различные доказательства теоремы Эйлера

Например, французский ученый П. Эйлером. Его можно присоединить следующими способами 1. На рисунке 5 показан многогранник произвольного типа. 3 Сумма внутренних углов верхней пластины равна 2р В-r, так как верхня...