Методика обучения школьников планиметрии с использованием объектных моделей

Методика обучения школьников планиметрии с использованием объектных моделей Выполнила студентка IV курса физико-математического факультета (специальность 050201.65 Математика) Лукьяненко Оксана Александровна Научный руководитель: Ст. преп. кафедры дидактики физики и математики Горев П. М. Киров 2007 СОДЕРЖАНИЕ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОБЪЕКТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ 1.1 Понятие наглядности и ее роль в процессе обучения математике 1.2 Объектные модели как наглядность обучении геометрии 1.3 Классификация моделей 1.4 Требования, предъявляемые к наглядным пособиям и правила их применения в обучении математике 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОБЪЕКТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ПЛАНИМЕТРИИ 2.1 Статистические модели при изучении планиметрии 1.1 Плоскостные модели 1.2 Пространственные модели 2.2 Использование динамических геометрических моделей 2.1 Подвижные геометрические модели 2.2 Геометрический конструктор 2.3 Конструирование фигур из бумаги 2.3 Изготовление моделей 42 2.4 Применение моделей на этапах урока 2.5 Недостатки использования моделей 2.6 Опытное преподавание 49 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 57 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 58 ВВЕДЕНИЕ Одним из важных предметов курса математики является геометрия. В процессе изучения у учащихся должны сформироваться глубокие и прочные знания предмета, а также умения осмысленно их применять.

Однако опыт работы учителей математики показывает, что качество геометрических знаний и умений учащихся основной школы остается невысоким.

Это объясняется тем, что геометрия по сравнению с другими дисциплинами математического цикла является относительно сложным предметом, на ее изучение традиционно отводится небольшое количество времени.

И поэтому существует проблема: как в таких условиях обеспечить высокий уровень знаний учащихся.

Одним из направлений решения данной проблемы является эффективное использование объектных моделей на уроках изучения планиметрии. Однако наблюдение за работой учителей математики, анализ методической литературы, периодических изданий по вопросам методики математики показывают, что объектные модели на уроках геометрии используются недостаточно и в основном используются при показе моделей пространственных тел на уроках стереометрии.

Способность же учащихся мысленно представлять себе фигуры их положения в пространстве нужно развивать задолго до того, как приходит пора изучать стереометрию. Но при изучении планиметрии применению моделей уделяется еще меньше внимания. Это можно объяснить тем, что методика их использования недостаточно разработана и учителя математики часто недооценивают возможностей применение объектных моделей, хотя они могут существенно повысить эффективность усвоения материала, а также служить развитию и поддержанию интереса к предмету.

Основная цель работы – изучить теоретические аспекты и разработать практические рекомендации к применению моделей на уроках планиметрии в средней школе. Задачи данной работы:  рассмотреть объектные модели, как наглядность в обучении;  разработать методику работы с моделями по учебнику «геометрия 7 – 9 класс»;  показать, применения моделей на разных этапах урока;  показать, применения моделей на уроке, опираясь на опытное преподавание.

Методы исследования:  изучение учебных пособий и методических материалов по планиметрии;  анализ психологической, педагогической и методической литературы по рассмотренной проблеме;  наблюдение за деятельностью учащихся;  опытное преподавание. В работе представлена классификация объектных моделей, требования, предъявляемые к моделям.

Показана связь между наглядными пособиями и объектными моделями. Будет предложен подробный план использования моделей на уроках, в соответствии с приведенной классификацией. В работе также показаны некоторые методические аспекты по изготовлению моделей, с привлечением учащихся и конспект урока, проведенного 7 классе средней школы № 21 с углубленным изучением отдельных предметов города Кирова, на котором использовались объектные модели. А также анализ проведенного урока. 1.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОБЪЕКТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОБЪЕКТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ 1.1

Понятие наглядности и ее роль в процессе обучения математике

Понятие наглядности и ее роль в процессе обучения математике. Коменский [20]. Гильберт: «В математике встречаются две тенденции: тенденция к абстрак... Наглядность используется для получения знаний о внешних свойствах мате... Таким образом, первоначально понятие наглядности относилось лишь к зри...

Объектные модели как наглядность обучении геометрии

Объектные модели как наглядность обучении геометрии. Работа с моделями не только помогает ученику представить форму, но раз... Методист Давыдов В.В. понимал «модель» как образ (в том числе условный или мысленный) или пр... В действительности: модели постоянной формы, будь они из бумаги, из ка...

Классификация моделей

В свою очередь статистические модели можно разделить на следующие виды... Подвижные модели. Раздвижная шарнирная модель угла 3. Для того, чтобы использование их в обучении приносило положительный эф... Равные углы следует сделать одинаковым цветом.

МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОБЪЕКТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ПЛАНИМЕТРИИ При изучении курса геометрии могут и должны применятся объектные модели. Одни из этих пособий могут создаваться на самом уроке, как учителем, так и самими учащимися (пригибанием листа бумаги) и тотчас же использоваться.

Другие пособия типа конструктора служат для создания той или иной фигуры или комбинации фигур тоже на уроке, но только самим учителем или одним из учащихся, для последующей демонстрации полученного пособия и проведения работы с ним. Подвижные модели служат преимущественно для демонстрации процесса изменения формы или размеров фигуры. Такие пособия могут изготовлять и сами учащиеся (в порядке выполнении программы по практическим занятиям в учебных мастерских или домашней самостоятельной работы). Наконец, модели фигур постоянной формы имеют наиболее широкое применение для создания отчетливого представления той или иной фигуры, для демонстрации таких операций, как наложение или приложение, и т.п. Многие наглядные пособия, даже большинство их, могут быть плодотворно использованы перед изучением той или иной темы или отдельной теоремы, чтобы ознакомить учащихся с общим

СОДЕРЖАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ м темы или теоремы; в этом случае наглядные пособия могут служить источником, из которого вытекает новая тема или отдельная теорема.

По окончании изучения темы или отдельной теоремы тоже иногда полезно воспользоваться наглядным пособием, чтобы на нем проиллюстрировать ту или иную теорему.

А также применятся при решении некоторых задач и при доказательстве некоторых теорем. Рассмотрим подробно, какие модели и как можно использовать на уроках геометрии в соответствии данной классификации в пункте 1.3. этой работы. 2.1

Статистические модели при изучении планиметрии

Сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в отрезке, таку... В беседе подводятся итоги наблюдений и устанавливаются черты сходства ... Введя понятие равных и неравных отрезков, исследуем, какие отрезки рав... Здесь доступны для школьников вопросы типа: «В чем сходство и различие... Равные тупые углы 2 Правильная Тупоугольные равнобедренные треугольник...

Использование динамических геометрических моделей

Использование динамических геометрических моделей 2.2.1 Подвижные геометрические модели Подвижные геометрические модели в настоящее время широко используются в преподавании геометрии при открытии понятий, теорем и доказательств. Например, для демонстрации смежных, вертикальных углов, высот, медиан, биссектрис треугольника, параллелограмма, с помощью моделей удобно иллюстрировать движения на плоскости (поворот, параллельный перенос, осевую и центральную симметрию). Гораздо реже используются подвижные модели при изучении различных зависимостей между сторонами и углами треугольника, между величинами проекций и наклонных и т. п. Это изучение чаще всего ведется статично, т. е рассматривается один частный случай, который характеризуется определенным чертежом.

В сознании школьника вместо великого разнообразия случаев, которые описывает изучаемая зависимость, нередко запечатлевается ее «фотография» — застывший неподвижный чертеж.

Создается своего рода противоречие между закономерностью общего характера и конкретным чертежом, который вынужден показывать один из частных случаев этой зависимости.

Такое положение чревато многочисленными ошибками учеников [38]. Изображая вместо произвольной фигуры ее частный вид, ученик сам создает себе помехи в решении задач, ибо он невольно пользуется теми особенностями чертежа, которые не входят в условие задачи. Например, изображая вместо произвольного прямоугольного треугольника равнобёдренный прямоугольный треугольник, ученик нередко использует при решении задачи навеянное чертежом дополнительное условие: острые углы треугольника равны 45°. По-видимому, возникновению таких серьезных логических ошибок (неверное обобщение) содействует неправильная постановка преподавания геометрии.

Иногда учителя, используя при доказательстве чертеж к теореме, не останавливаются на условиях, допускающих обобщение, и ученики невольно усваивают такое «правило»: по одному чертежу можно судить об общих закономерностях.

Естественно поэтому, что при решении задач они стремятся брать наиболее «удобные» случаи. Конечно, говоря об условиях, позволяющих высказать общий вывод при рассмотрении одного чертежа, мы в известной мере нейтрализуем стремление учеников к «удобным» случаям. Но этого мало: необходимо также устранять причины, приводящие к ошибкам. Как показал опыт, результаты в этом отношении обеспечивает изучение планиметрических зависимостей на подвижных моделях своего рода «подвижных чёртежах» [38]. У многих учащихся отсутствует правильное представление о размерах углов. Говоря об угле в 30°, чертится угол в 50° и т. п. Недостаток глазомера, отсутствие навыка в обращении с ходовыми углами значительно осложняет работу по решению задач, а также тормозит дальнейшую практическую деятельность учащихся [7]. Для развития у учащихся правильных навыков рекомендуется во время изучения углов, построения их, вывесить в классе на небольшой срок (неделю) образцы часто встречающихся в практике углов: 30°, 45°, 60°, 135°. (см. рис. 4.) Рис. 4. Образцы часто встречающихся углов Модели могут быть двух типов: деревянные и картонные.

Ученику дома предлагается изготовить набор небольших моделей различных углов, наклеить их на листе, сделать надписи, поместить в конверт.

Интерес учащихся 7 класса вызывает планиметрическая модель, которая иллюстрирует доказательство теоремы о сумме внутренних углов треугольника. Углы 1 и 3 треугольника подвижные.

Для того чтобы учащиеся выдвинули гипотезу о сумме углов треугольника, учитель эти углы разворачивает на подвижной модели, так как показано на рис. 5 Рис. 5. Модель разворота подвижных углов При изучении свойства хорды: хорда, не проходящая через центр круга, меньше диаметра, проведенного в том же круге. Рис. 6. Модель для изучения свойств хорды Можно использовать следующую подвижную модель. Модель представляет собой лист картона, на котором начерчена окружность.

Вдоль дуги АВD может передвигаться точка В (пуговица) (рис.6). При движении точки В по дуге окружности образуются различные треугольники, обладающие одной общей особенностью две стороны (радиусы) не меняют своей длины. Вспоминая свойство отрезка, приходим к выводу, что любая хорда, не проходящая через центр круга, меньше его диаметра. На модели, кстати, видно, почему приходится вводить ограничение «не проходящая через центр круга». В этом случае ломаная АОВ выпрямляется и свойство отрезка применить уже нельзя [38]. При изучении темы перпендикуляр и наклонная можно на модели показать их зависимость: перпендикуляр, проведенный из какой-либо, точки к прямой, меньше всякой наклонной проведенной из той же точки в этой прямой.

На листе картона (рис.7) начерчены две взаимно перпендикулярные линии АВ и KD. Точка С подвижная, АС - резинка. Передвигая «точку» С (пуговица), получаем различные прямоугольные треугольники, у которых меняющая свою длину наклонная АС служит гипотенузой, а катет АВ не меняется.

Так как гипотенуза больше катета, отсюда следует утверждение теоремы. При доказательстве признака параллелограмма (Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника) можно использовать следующую модель [38]: Параллелограмм (рис. 8), сделанный из деревянных реечек. Диагональ ВС - резинка, точки А, В, С и D - оси вращения. При любых положениях модели треугольники АВС и BDC равны друг другу. При изучении зависимости между дугой окружности и хордой (Большая дуга стягивается большей хордой, большая хорда стягивает большую дугу). Можно использовать следующую модель: на листе картона начерчена половина окружности АСК (рис. 9). Так как равные дуги стягиваются равными хордами и наоборот, то, не теряя общности рассуждений, будем откладывать, сравниваемые хорды и дуги, из точки А. По дуге ВК, могут передвигаться подвижные точки С и Е. Хорды АС и АЕ резинки, радиусы ОС и ОА – нити [38]. При движении модели видно, что если увеличивать дугу, то и стягивающая ее хорда увеличивается (резинка растягивается) и, обратно, увеличение хорды вызывает увеличение дуги. Но это можно не только показать, но и доказать.

Каковы бы ни были хорды АС и АЕ, через точки С и Е можно провести прямую (накладываем на точки С и Е прямую стержень, на рисунке он показан пунктиром). Тогда можно видеть, что АЕ больше АС (наклонная, имеющая большую проекцию). Так как дуга АЕ также больше дуги АС и так как это положение модели мы могли получить, либо увеличивая дугу, либо увеличивая хорду, то отсюда и вытекает сделанный вывод.

Рассматривая одно из положений модели, приходим к формулировкам учебника.

После того как ученики познакомятся со вписанными углами, можно объяснить тот факт, что перпендикуляр А.