рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Класс ограниченных функций

Класс ограниченных функций - раздел Математика, Функциональные уравнения Класс Ограниченных Функций. Пусть Теперь Функция F(X) Ограничена С Одн...

Класс ограниченных функций.

Пусть теперь функция f(x) ограничена с одной стороны (т. е. ограничена либо сверху, либо снизу) на каком-либо интервале (a, b). Нам нужно доказать, что линейными однородными функциями исчерпываются все решения (4) в данном классе.

Мы исследуем решение уравнения (4), предполагая f ограниченной сверху (случай, когда f ограничена снизу, сводится к рассматриваемому случаю заменой f на -f). Будем считать, что функция f ограничена сверху константой M, т. е. для всех. Рассмотрим вспомогательную функцию g(x) = f(x) - x•f(1). По доказанному выше g(x) = 0 при любом рациональном x. Кроме того, функция g(x) также является аддитивной.

Действительно, g(x + y) = f(x + y) - (x + y)•f(1) = f(x) + f(y) - xf(1) - yf(1) = g(x) + g(y). Подставим y = r (r - рациональное) в равенство g(x+y) = g(x)+g(y), получим, учитывая g(r) = 0, g(x+r) = g(x)+g(r) = g(x). Значит, любое рациональное число r является периодом функции g(x). Покажем теперь, что g(x) ограничена на интервале (a, b). Имеем где, поскольку при. Отсюда тогда следует, что g(x) ограничена сверху на всей вещественной оси. В самом деле, для любого действительного x существует рациональное число r такое, что r (a-x, b-x), т. е. a < x+r < b. Поэтому g(x) = g(x+r) < M1, так как x + r (a, b), а на интервале (a, b) функция g ограничена числом M1. Сейчас уже можно утверждать, что g(x) = 0 для любого действительного x. Допустим это не так, т. е. для некоторого x0 g(x0) = A, A 0. Поскольку для функции g(x), как для любой аддитивной функции, верно соотношение (1.1), то g(nx0) = ng(x0) = nA для любого целого n. Очевидно, что можно подобрать такое n (может быть, достаточно большое по абсолютной величине), что nA > M1, т.е. g(nx0) > M1. Но функция g ограничена сверху константой M1. Получаем противоречие.

Значит, g(x) 0, откуда f(x) = x•f(1), что и требовалось. п.1.1.4. Класс дифференцируемых функций.

Легко проверить, что если функция f (х) дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке, Как показывает пример функции f(x)=|x|, обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Поэтому класс дифференцируемых функций уже класса непрерывных функций.

Следовательно, решением уравнения Коши в классе дифференцируемых функций является линейная однородная функция.

Тем не менее, метод решения уравнения Коши в предположении дифференцируемости f(x) представляет интерес ввиду его простоты.

При фиксированном у R f (х + у) и f(х) + f (у) являются функциями переменной х R. Ввиду их равенства, равны и их производные (по переменной x!). Продифференцировав обе части равенства (4), получим (1.9) ( , как производная постоянной). Равенство (1.9) выполняется для любых х R, у R, так как у можно было выбрать произвольно, Положив в(1.9) х = 0, придем к тождеству для всех у R. Итак, — постоянная функция.

Поэто¬му ее первообразная f (х) = сх + b (1.10) где b — некоторое действительное число. Проверка показы¬вает, что (1.10) удовлетворяет (4) только при b = 0, с R. Существуют и другие классы функций, в которых аддитивная функция неминуемо будет являться линейной однородной, однако найден пример аддитивной функции и в классе разрывных функций.

Этот пример построил Гамель. Построенная функция обладает следующим свойством: на любом (произвольно выбранном) интервале (a, b), пусть даже сколь угодно малом, функция f(x) не ограничена, т. е. среди значений, которые данная функция принимает на этом интервале, имеется и такое, которое больше любого наперёд заданного положительного числа.

Для построения такой функции Гамель ввёл множество G действительных чисел, называемое теперь базисом Гамеля, которое обладает свойством, что любое действительное число x представимо и при том единственным способом в виде , Произвольно задав значения f(x) в точках множества G, можно однозначно продолжить её на всю числовую прямую при помощи равенства вытекающего из свойства аддитивной функции. Такими функциями исчерпываются все решения (4). п.1.2.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Функциональные уравнения

Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл…

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Класс ограниченных функций

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Функциональное уравнение линейной однородной функции
Функциональное уравнение линейной однородной функции. Одним из наиболее исследованных в математике является функциональное уравнение Коши f(x+y) = f(x) +f(y), D (f) =R (4) Нетрудно заметить, что ли

Класс монотонных функций
Класс монотонных функций. Здесь мы будем предполагать, что функция f не убывает на всей действительной оси (случай невозрастания функции рассматривается аналогично). Значит для любых x1 <

Функциональное уравнение показательной функции
Функциональное уравнение показательной функции. Покажем, что все непрерывные на всей действительной прямой функции, удовлетворяющие функциональному уравнению f(x+y) = f(x) •f(y), (5) задаются форму

Функциональное уравнение логарифмической функции
Функциональное уравнение логарифмической функции. Все непрерывные решения функционального уравнения f (xy) = f(x) + f(y), (6) справедливого для всех положительных значений x и y, имеют вид f(x) = l

Функциональное уравнение степенной функции
Функциональное уравнение степенной функции. Функциональному уравнению f(xy) = f(x)•f(y) (x > 0, y > 0) (7) удовлетворяют в классе непрерывных функций только функции вида f(x) = xa. Прибегая к

Одно обобщение уравнения Коши
Одно обобщение уравнения Коши. Пусть n — фиксированное натуральное число. Рассмотрим функциональное уравнение (1.11) где D (f) = R. При n = 1 оно обращается в уравнение Коши. Как было показано, в к

Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции
Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции. Рассмотрим определённые типы функциональных уравнений, которые можно свести к уравнениям, общи

Решение функциональных уравнений с применением теории групп
Решение функциональных уравнений с применением теории групп. В уравнении под знаком неизвестной функции f(x) стоят функции g1 = х и g2 = а – х. В результате замены х на а – х получено еще одно урав

Применение теории матриц к решению функциональных уравнений
Применение теории матриц к решению функциональных уравнений. Под знаком неизвестной функции могут стоять дробно-линейные выражения вида. Такие дроби полностью определяются заданием матрицы, составл

Предельный переход
Предельный переход. Идею предельного перехода проиллюстрируем на следующих примерах. Пример 17. Решить в классе непрерывных функций уравнение (6.1) где х R. Решение. Заменив х на, получим (6

Дифференцирование
Дифференцирование. В некоторых случаях для нахождения решения функционального уравнения целесообразно продифференцировать обе части уравнения, если, конечно, производная существует. В резуль

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги