Функциональное уравнение степенной функции - раздел Математика, Функциональные уравнения Функциональное Уравнение Степенной Функции. Функциональному Уравнению F(Xy) =...
Функциональное уравнение степенной функции. Функциональному уравнению f(xy) = f(x)•f(y) (x > 0, y > 0) (7) удовлетворяют в классе непрерывных функций только функции вида f(x) = xa. Прибегая к той же подстановке, что и в п. 1.3, мы приведём уравнение (7) к уравнению (4): , откуда φ(ξ) = cξ (c >0), и, значит, f(x) = clnx = xa (a = lnc). Метод последовательного анализа можно применить к решению других уравнений.
Пример 1. Функция f определена и непрерывна на множестве R, f(1) = 1 и для любых действительных x и y Чему равно f(x)? Решение.
Из данного равенства при x = y = 0 получаем, что f(0) = 0, а при y = 0 имеем f(x) = f(|x|), так что функция f чётная и достаточно рассматривать только положительные значения аргумента. По индукции легко получить равенство ; в самом деле, по предположению индукции Положив в доказанном равенстве, будем иметь, т.е. . Если теперь – положительное рациональное число, то, если же x - иррациональное число, то x является пределом последовательности рациональных чисел, , и в силу непрерывности f будем иметь п.1.5.
Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе.
Они появились почти одновременно с зачатками теории функций.
Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл…
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Функциональное уравнение степенной функции
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Функциональное уравнение линейной однородной функции
Функциональное уравнение линейной однородной функции. Одним из наиболее исследованных в математике является функциональное уравнение Коши f(x+y) = f(x) +f(y), D (f) =R (4) Нетрудно заметить, что ли
Класс монотонных функций
Класс монотонных функций.
Здесь мы будем предполагать, что функция f не убывает на всей действительной оси (случай невозрастания функции рассматривается аналогично). Значит для любых x1 <
Класс ограниченных функций
Класс ограниченных функций.
Пусть теперь функция f(x) ограничена с одной стороны (т. е. ограничена либо сверху, либо снизу) на каком-либо интервале (a, b). Нам нужно доказать, что линейными
Функциональное уравнение показательной функции
Функциональное уравнение показательной функции. Покажем, что все непрерывные на всей действительной прямой функции, удовлетворяющие функциональному уравнению f(x+y) = f(x) •f(y), (5) задаются форму
Функциональное уравнение логарифмической функции
Функциональное уравнение логарифмической функции. Все непрерывные решения функционального уравнения f (xy) = f(x) + f(y), (6) справедливого для всех положительных значений x и y, имеют вид f(x) = l
Одно обобщение уравнения Коши
Одно обобщение уравнения Коши. Пусть n — фиксированное натуральное число. Рассмотрим функциональное уравнение (1.11) где D (f) = R. При n = 1 оно обращается в уравнение Коши. Как было показано, в к
Решение функциональных уравнений с применением теории групп
Решение функциональных уравнений с применением теории групп. В уравнении под знаком неизвестной функции f(x) стоят функции g1 = х и g2 = а – х. В результате замены х на а – х получено еще одно урав
Применение теории матриц к решению функциональных уравнений
Применение теории матриц к решению функциональных уравнений. Под знаком неизвестной функции могут стоять дробно-линейные выражения вида. Такие дроби полностью определяются заданием матрицы, составл
Предельный переход
Предельный переход. Идею предельного перехода проиллюстрируем на следующих примерах.
Пример 17. Решить в классе непрерывных функций уравнение (6.1) где х R. Решение. Заменив х на, получим (6
Дифференцирование
Дифференцирование. В некоторых случаях для нахождения решения функционального уравнения целесообразно продифференцировать обе части уравнения, если, конечно, производная существует.
В резуль
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов