Общие понятия: моделирование и математические модели

Общие понятия: моделирование и математические модели. Моделированием называют построение модели того или иного явления реального мира. В общем виде модель - это абстракция реального явления, со-храняющая его существенную структуру таким образом, чтобы ее анализ дал возможность определить влияние одних сторон явления на другие или же на явления в целом.

В зависимости от логических свойств и связей моделей с ото-бражаемыми явлениями можно все модели разделить на три типа: изобрази-тельные, аналоговые и математические. Нас интересуют математические моде-ли. Математическая модель является самой сложной и наиболее общей и аб-страктной по сравнению с изобразительной и аналоговой моделями.

В ней для отображения свойств изучаемого явления используются символы математического или логического характера. Особые трудности возникают при решении задач с большой размерностью, расплывчатостью постановки, неопределенностью информации и т.д. В постановке таких задач появляются неклассические моменты, такие как плохая формализуемость, нестандартность, противоречивость. Остановимся на понятие плохо формализуемой задачи, которое появляется в результате решения потока серьезных прикладных задач в самых различных областях.

Эти могут быть и формализованные правила рассуждений, и правила логического вывода. Математические модели служат отражению и анализу некоторых свойств действительных объектов. Рассмотрим один из видов математических моделей, характеризующихся простой структурой и широко применяющихся в приложениях. Модели такого вида содержат сле-дующие элементы: 1. вектор параметров, измеряемых на объекте: где - значение j-го параметра, которое является чаще всего вещественным числом.

Можно назвать вектором состояния объекта. Если изучается динамика моделируемого объекта во времени, то считаем, что со-стояние в каждый момент описывается вектором 2. вектор параметров, не могущих быть непосредственно измерен-ными; 3. неизвестные связи между переменными координатами векторов и 4. связи между переменными, являющиеся неизвестными; 5. математический аппарат исследования соотношений (связей). В качестве примера можно привести имитационные модели (о которых речь пойдет позже), описывающие возможные пути развития сложных технико-экономических и природных систем.

Поясним теперь, что мы понимаем под плохо формализуемыми задачами: это задачи, условия которых определены не полностью, не все связи заданы в аналитической форме, при этом формулировка задачи может содержать противоречия, а также не все соглашения о понятии решения могут быть в на-личии. Решению таких (плохо формализуемых) задач предшествуют этапы преобразования их формулировки, уточнений и упрощений.

Результатом этих этапов является получение комплекса формализованных задач, имеющего некоторое отношение к исходной задаче. Необходимо знание этого отношения, иначе точность, достигаемая формальными методами, может оказаться беспо-лезной. В сферу модели естественно также включить описание исходной задачи, выбираемый язык, критерии и ограничения, аппарат адекватности модели, средства интерпретации и подготовки к практическому внедрению, способы вне модельного анализа, учета плохо формализуемых факторов. Можно выделить следующие разновидности плохо формализуемых задач: 1. нестационарные; эти задачи отличаются эволюцией информации об объекте и модельных представлений о нем; 2. задачи с расплывчатым отражением некоторых зависимостей и плохо определенными ограничениями.

В этих задачах для описания зависи-мостей и ограничений требуется использовать специальные процедуры диалога с экспертами, а также проведение целенаправленных серий экспериментов; 3. с несовместными системами условий и ограничений и неопределенным понятием решения (неособенные задачи); 4. задачи, в которых оценка решения производится по системе несогласо-ванных (противоречивых) критериев; 5. задачи с неоднозначно определенным решением; 6. неустойчивые или некорректные задачи.

Противоречивые модели Противоречивые знаковые модели возникают и в эмпирических исследо-ваниях, и в формально-логических.

Поэтому необходимо использовать обоб-щения понятия существования решения, применять «размытые» определения и принципы принятия практических решений, вводить обобщения понятия не-противоречивости теоретической модели. Так, например, некоторые логические парадоксы могут быть связаны с несовместными системами предикатов, кото-рым можно поставить в соответствие лишь несобственные объекты. Один из путей снятия таких парадоксов - в расширении представлений об объектах, в ослаблении накладываемых при определении объекта требований, в их «раз-мывании», в расширении смысла понятия существования объекта. Противоречивые определения объектов и противоречивые модели иногда возникают в результате абсолютизации локальных свойств действительно су-ществующих объектов.

Другая возможная причина появления противоречивых моделей - наличие различных несогласованных источников информации, кото-рая служит основой моделирования. В прикладной математике наблюдается заметный интерес к описанию противоречивых ситуаций, он вызван, по-видимому, необходимостью повысить реальный результат применения математических моделей и методов к решению сложных практических задач.

Примеры решения противоречивых задач можно видеть и в сфере оптимизации, и в сфере распознавания образов. В некоторых случаях содержательный смысл модели может диктовать такой вид работы с ней, как выделение ее непротиворечивых подмоделей, в других случаях возможно ослабление ограничений модели, приводящее к ее непротиворе-чивости. Основы процесса выработки решений В процессе выработки решений применимы такие конкретные формы как анализ, синтез, индукция, дедукция, аналогия, абстракция и конкретизация.

Анализ логический прием расчленения целого на отдельные элементы с рассмотрением каждого из них в отдельности. При этом в процессе выработки решения анализу подвергаются поставленная задача, данные обстановки. Анализ неразрывно связан с синтезом - объединением всех данных, полу-ченных в результате анализа. Синтез - это не простое суммирование результа-тов анализа.

Задача его состоит в мысленном воспроизведение основных связей между элементами обстановки. Синтез дает - возможность вскрыть сущность процессов, установить причинно-следственные связи, прогнозировать развитие действий. Анализ и синтез тесно переплетаются с индукцией и дедукцией. Индукция - движение мысли от частного к общему, от ряда факторов к закону. Дедукция, наоборот, идет от общего к частному, от закона к отдельным его проявлениям.

Индуктивный прием используется в тех случаях, когда на основе частного фактора можно сделать общие выводы, установить взаимосвязь между отдельными явлениями и каким-либо законом. Анализируя обстановку, необходимо следовать то от частного к общему (индукция), то от общего к ча-стному (дедукция), стремясь установить взаимосвязь между явлениями обстановки и законом. В процессе выработки решения можно использовать абстрагирование - способность отвлечься от совокупности факторов и сосредоточить внимание на каком-либо одном вопросе.

При абстракции хотя и достигается частные це-ли, однако они не могут служить основанием для решения. Поэтому наряду с абстракцией должна применяться конкретизация - увязка того или иного явления с конкретными условиями. Существенное значение в процессе выработки решений может сыграть аналогия - прием, в котором из сходства двух явлений в одних условиях делается вывод о сходстве этих явлений в других условиях. Однако, аналогия не доказательство, она дает почву для высказывания предположения о возможном развитии характера действий, дает толчок в мышлении.

В ходе выработки решения важно установить причинно-следственные связи между элементами. Причинность - одна из всеобщих форм объективной связи между предметами, явлениями и процессами реальной действительности. 3. Математические модели. - дескриптивные (описательные) модели; - оптимизационные модели; - мно-гокритериальные модели; - игровые модели; - имитационные модели.

Моделируя движение кометы, вторгшейся в Солнечную систему, мы описываем (предсказываем) траекторию ее полета, расстояние, на котором она пройдет от Земли и т.д т.е. ставим чисто описательные цели. У нас нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то изменить. На другом уровне процессов мы можем воздействовать на них, пытаясь добиться какой-то цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных нашему влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, мы можем стремиться подобрать такой, чтобы достичь мак-симальной сохранности зерна, т.е. оптимизируем процесс.

Часто приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам сразу, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, организовать питание больших групп людей (в армии, летнем лагере и др.) как можно полезнее и как можно дешевле. Ясно, что эти цели, вообще говоря, совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет несколько критериев, между которыми надо искать баланс.

Игровые модели могут иметь отношение не только к детским играм (в том числе и компьютерным), но и к вещам серьезным. Например, полководец перед сражением в условиях наличия неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и т.д учитывая и возможную реакцию противника. Есть специальный достаточно сложный раздел современной математики - теория игр изучаю-щий методы принятия решений в условиях неполной информации.

Наконец, бывает, что модель в большой мере подражает реальному про-цессу, т.е. имитирует его. Например, моделируя изменение (динамику) числен-ности микроорганизмов в колонии, можно рассматривать много отдельных объектов и следить за судьбой каждого из них, ставя определенные условия для его выживания, размножения и т.д. При этом иногда явное математическое описание процесса не используется, заменяясь некоторыми словесными усло-виями (например, по истечении некоторого отрезка времени микроорганизм делится на две части, а другого отрезка - погибает). Другой пример - моделиро-вание движения молекул в газе, когда каждая молекула представляется в виде шарика, и задаются условия поведения этих шариков при столкновении друг с другом и со стенками (например, абсолютно упругий удар); при этом не нужно использовать никаких уравнений движения.

Можно сказать, что чаще всего имитационное моделирование применяется в попытке описать свойства большой системы при условии, что поведение составляющих ее объектов очень просто и четко сформулировано.

Математическое описание тогда производится на уровне статистической обработки результатов моделирования при нахождении макроскопических характеристик системы. Такой компьютерный эксперимент фактически претендует на воспроизведение натурного эксперимента; на вопрос "зачем же это делать" можно дать следующий ответ: имитационное моделирование позволяет выделить "в чистом виде" следствия гипотез, заложенных в наши представления о микрособытиях, очистив их от не-избежного в натурном эксперименте влияния других факторов, о которых мы можем даже не подозревать.

Если же, как это иногда бывает, такое моделирование включает и элементы математического описания событий на микроуровне, и если исследователь при этом не ставит задачу поиска стратегии регулирования результатов (например, управления численностью колонии микроорганизмов), то отличие имитационной модели от дескриптивной достаточно условно; это, скорее, вопрос терминологии.

Вид модели и степень ее детализации определяется не только свойствами моделируемого объекта, но и целью, с которой выполняется моделирование. Поэтому процесс разработки модели сложной системы состоит в последова- тельном анализе и моделировании отдельных ее подсистем с последующим ус-тановлением связей между этими подсистемами. Процесс построения моделей представлен на рисунке 1. На первом этапе создания модели выделяются признаки, характеризующие систему и системообразующие элементы, а также от-ношения, на которых реализуются эти признаки.

Это позволяет определить исследуемый объект как систему. На втором - определяется цель моделирования системы. На третьем этапе на каждом уровне детализации разрабатываются математические модели и модели координаторов для взаимодействия между уровнями. На первом уровне изучают интересующую систему (объект моделирования) и описывают ее содержательно. Такое описание называют концептуальной (содержательной) моделью, представляющей собой словесное описание математической формулировки задачи. Затем формулируют концептуальную модель, для чего разрабатывают структуру модели.

Это структурный или топологический уровень формирования модели, на котором модель записывается в виде балансовых соотношений и ограничений. Далее на алгоритмическом уровне разрабатывают алгоритм решения математической модели. Программная реализация которого соответствует следующему уровню детализации – параметрическому, на котором определяются параметры модели. И далее на последнем уровне проводится проверка адекватности модели моделируемому объекту.

Основные принципы построения математических моделей. При построении математических моделей целесообразно придерживаться следующих принципов, выработанных практикой. Достаточность используемой информации. При построении модели целесообразно использовать ту информацию, которая требуется в соответствии с разрабатываемым алгоритмом, что принципиально противоположно подходу, «сначала сбор ин¬формации, а затем построение алгоритма по обработке этой информации». Инвариантность информации.

Данный принцип означает, что входная информация должна быть независима от параметров моделируемой системы. Иначе говоря, модель должна работать без коррекции в некотором диапазоне значений входной информации. Преемственность. Каждая последующая модель не должна нарушать свойств объекта, полученного на предыдущих этапах или при использовании других моделей. Эффективная реализуемость предполагает соответствие точности исходных данных, точности решения задачи и точности результирующей информации.

В этой связи следует заметить, что нахождение оптимальных решений для практики часто иллюзорно. 4. Классификация с различных точек зрения. Классификация моделей может быть проведена с различных точек зре-ния. Рассмотрим некоторые из них. 1. Классификация по целевому назначению. Модели структуры описывают связи между средой и компонентами сис-темы. Из них можно выделить: канонические модели, где описана связь с окружающей средой через вход и выход; модели внутренней структуры, описы-вающие состав компонентов системы и связь между ними; модели иерархиче-ской структуры, где целое расчленяется на элементы более низкого уровня (обычно в виде дерева структуры системы) и др. Модели функционирования — модели жизненного цикла системы в целом; модели операции, представляющие описание процессов функционирования отдельных элементов; информационные модели, описывающие взаимосвязи источников и потребителей информации, характер ее преобразования, временные и другие количественные характеристики; проце¬дурные модели, отражающие порядок взаимодействия элементов при выполнении отдельных операций; временные модели, описывающие процедуры функционирования во времени.

Стоимостные модели предназначены для комплексной оценки по эконо-мическим критериям. 2. Классификация по типу задач.

Описательные (дескриптивные) модели (к ним часто приводят, постановки задач типа. А) предназначены для описания изучаемого процесса, объяснения наблюдаемых фактов, а также прогноза поведения системы: модели пла¬нирования без оптимизации (балансовые модели); модели для некоторых задач сетевого планирования и управления (расчет по известным формулам}; модели для задач учета; модели для задач контроля и анализа (обычно в виде статистических моделей); модели прогнозирования; модели для расчета па-раметров функционирования случайных систем с нефор¬мализованными связями.

В описательной модели нет сторон, принимающих решения.

Формально число таких сторон в описательной модели равно нулю. Типичным примером подобных моделей является модели систем массового обслуживания. Для построения описательных моделей может также использоваться теория надежности, теория графов, теория вероятностей, метод статических испытаний (метод Монте-Карло). Нормативные, или прескриптивные модели, к которым обычно приводят постановки задач типа В. В моделях такого типа отражается то, что должно было бы происходить, если принять некоторые исходные предположения.

По-строение нормативных моделей преследует цель определения наилучшего эф-фекта или состояния. С их помощью дается ответ на вопросы о том, как должно быть. Для нормативной модели характерно множество сторон. Принципиально можно выделить два вида нормативных моделей: модели оптимизации и теоре-тико-игровые. В моделях оптимизации основная задача выработки решений технически сводится к строгой максимизации или минимизации критерия эффективности, т.е. определяются такие значения управляемых переменных, при которых кри-терий эффективности достигает экстремального значения (максимума или минимума). Для выработки решений отображаемых моделями оптимизации, наряду с классическими и новыми вариационными методами (поиск экстремума) наиболее широко используется методы математического программирования (линейное, нелинейное, динамическое). Для теоретико-игровой модели характерна множественность числа сторон (не менее двух). Если двое с противоположными интересами, то используется теория игр, если число более двух и между ними невозможны коалиции и компромиссы, то используется теория бескоалиционных игр n-лиц. В теоретико-игровых моделях учитывается недостаточность информации о действиях противника и необходимость принимать решение в условиях неопределенности.

Теоретико-игровой подход в том, по существу, и состоит, что выявляется наименее благоприятное вероятностное распределение значений неуправляемых переменных и находится оптимальное действие в этих наименее благоприятных условиях.

Недостаток теоретико-игровой модели по сравнению со стохастической (точно так же, как и недостаток стохастической модели по сравнению с детерминированной) состоит в больших математических трудностях в теоретическом плане и в существенно большем объеме вычислительных работ в плане практическом.

Модели конструирования решений, выступающие в виде формализован-ных схем построения комплексных: решений.

Они обычно включают в качестве элементов и дескриптивные, и нормативные модели. К таким моделям обычно приводят постановки задач типа С. 3. Классификация по форме реализации. Аналитические модели, записывающиеся в виде матема¬тических конст-рукций, не включающих логических условий, приводящих к разветвлению вы-числительного процесса. Алгоритмические модели — это математические модели, в которых присутствуют логические условия, приводящие к разветвлению вычислительного процесса. 4. Классификация по отношению ко времени.

Различают статические и динамические модели. Статические модели - это модели, в которых время не является переменной (инвариантны ко времени). В динамических же моделях одной из переменных является время (являются функцией времени). 5. Классификация по характеру зависимости выходных параметров от входных модели. Делятся на детерминированные и стохастические. Если существуют функциональные зависимости выходных параметров от входных, то модели яв-ляются детерминированными, если эти зависимости неизвестны, а известно лишь математическое описание выходов в виде функции входов, модели назы-ваются стохастическими. Детерминированная модель строится в тех случаях, когда факторы, влияющие на исход операции, поддаются достаточно точному измерению или оценке, а случайные факторы либо отсутствуют, либо или можно ими пренеб-речь. В стохастических моделях реальность отображается как некоторый случайный процесс, ход и исход которого описывается теми или иными характеристиками случайных величин: математическими отношениями, дисперсиями, функциями распределения и т.д. Построение такой модели возможно, если имеется достаточный фактический материал для оценки необходимых вероятностных распределений или если теория рассматриваемого явления позволяет определить эти распределения теоретически (на основе формул теории вероятностей, предельных теорем и т.д.) 6. Классификация по виду критерия эффективности и наложенных ог-раничений.

Два типа: линейные и нелинейные.

В линейных моделях критерий эффек-тивности и наложенные ограничения являются линейными функциями переменных модели.

Допущение о линейной зависимости критерия эффективности и совокупности наложенных ограничений от переменных модели на практике вполне приемлемым. Это позволяет для выработки решений использовать хорошо разработанный аппарат линейного программирования. 7. Классификация по характеру времени.

Динамические модели делятся на непрерывные и дискретные. Первые функционируют в непрерывном времени, а вторые - в дискретном. Примером непрерывных детерминированных моделей могут служить дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения; примером дискретных детерминированных моделей – конечные автоматы, дискретных стохастических – вероятностные автоматы. 5.