Метод Гаусса

ОГЛАВЛЕНИЕ. 1. Историческая справка 2. Краткая теория 3. Методические рекомендации по выполнению заданий. 4. Примеры выполнения заданий. 1. Историческая справка ГАУСС (Gaus ) Карл Фридрих (1777-1855), нем. математик, ин. ч к. (1802) и ин. поч. ч. (1824) Петерб. АН. Для творчества Г. характерна органич. связь между теоретич. и прикладной матедатикой, широта проблематики.Тр. Г. оказали большое влияние на развитие алгебры (доказательство осн. теоремы алгебры), теории чисел (квадратичные вычеты), дифференц. геометрии (внутр. геометрия поверхностей), матем. физики (принцип Г.), теории электричества и магнетизма, геодезии (разработка метода наименьших квадратов) и мн. разделов астрономии. 2. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ . Пусть дана система линейных уравнений (1) Коэффициенты a 11 , 12 a 1n , , a n1 , b 2 , , b n считаются заданными . Вектор -строка í x 1 , x 2 , , x n ý - называется решением системы (1), если при подстановке этих чисел вместо переменных все уравнения системы (1) обращаются в верное равенство.

Определитель n-го порядка D = ç A ê = ç a ij ç , составленный из коэффициентов при неизвестных , называется определителем системы (1). В зависимости от определителя системы (1) различают следующие случаи. a). Если D ¹ 0 , то система (1) имеет единственное решение, которое может быть найдено методом ГАУССА . б). Если D = 0 , то система (1) либо имеет бесконечное множество решений , либо несовместна ,т.е. решений нет. 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ 1. Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными. (2). Метод Гаусса решения системы (2) состоит в следующем: Разделим все члены первого уравнения на , а затем ,умножив полученное уравнение на , вычтем его соответственно из второго и третьего уравнений системы (2). Тогда из второго и третьего уравнений неизвестное будет исключено ,и получиться система вида: (3) Теперь разделим второе уравнение системы (3) на , умножим полученное уравнение на и вычтем из третьего уравнения.

Тогда из третьего уравнения неизвестное будет исключено и получиться система треугольного вида : (4) Из последнего уравнения системы (4) находим ,подставляя найденное подставляя найденное значение в первое уравнение , находим . 3. ПРИМЕР. Методом Гаусса решить систему: Решение: Разделив уравнение (а) на 2 , получим систему Вычтем из уравнения (b) уравнение , умноженное на 3, а из уравнения (c) - уравнение , умноженное на 4. Разделив уравнение ( ) на -2,5 , получим : Вычтем из уравнения ( ) уравнение , умноженное на -3: Из уравнения находим Z=-2; подставив это значение в уравнение , получим Y=0,2-0,4Z=0,2-0,4(-2)=1; наконец , подставив значение Z=-2 и Y=1 в уравнение( a 1 ) , находим X=0,5-0,5Y-Z=0,5-0,5 1 - (-2)=2. Итак, получаем ответ X=2, Y=1, Z=-2 . Проверка:.