Определение. Производной функции у = fx в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если он существует

Лекция 4. Производная

Определение. Производной функции у = f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если он существует

Используется также эквивалентное обозначение , и употребляется точка сверху, , когда речь идет о функциях вре­мени. Операцию взятия производной называют дифференцированием. Функцию называют дифференцируемой в точке x, если существует производная.

 

Производная– это скорость изменения функции f при изменении аргумента x.

Когда функция - путь, аргумент - время, производная — это обычная скорость. Действительно, разность s(t + ∆t) - s(t), равная пути, пройденному за время t, и отнесенная к промежутку времени t, дает среднюю скорость на интервале ∆t. При ∆t → 0 получается мгновенная скорость в точке t.

На рис. 3.1 изображены два примера.

 

Как хорошо известно, если график s(t) -

прямая линия, то v(t) = const. В случае тела, брошенного вверх с начальной скоростью , высота меняется по закону s(t) =, скорость .

 

Другую полезную интерпретацию производной дает рис. 3.2, из которого видно, что производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику f(x) в точке х.

 

При дифференцировании нет необходимости искать непосред­ственно пределы.

Зачем нужны производные?

- Здесь возникает раз­говор о максимумах, выпуклости, асимптотике и вообще изучении поведения функций, — где производные, конечно, играют боль­шую роль.

- Следующий виток — численные методы. Оптимизация, решение уравнений, неравенств, — почти везде используется диф­ференцирование. Скажем, итерационный метод Ньютона для решения уравнения f(x)=0 в случае f(x)=x2-2 вычисляет корень квадратный из 2, давая последовательные приближения. Казалось бы, ничего особенного, однако дюжина итераций, начиная, допустим, с xо = 1, дает тысячу(!) верных знаков после запятой.

- Пусть Т обозначает температуру тела, находящегося в сре­де с температурой То. Как будет проходить процесс нагревания или охлаждения? Скорость Т’ изменения Т пропорциональна разности тем­ператур Т₀ - Т, т. е. T’ = С(Tо-Т), где C > 0 — коэффициент пропорциональности.

Это простейший вариант дифференциального уравнения (содер­жащего производные). На подобного сорта уравнениях базируется вся физика и другие прикладные науки. Как, скажем, движутся механические тела? Один раз такую задачу удалось решить Кеплеру (планеты — по эллипсам), но это ничего не дало для решения дру­гих задач. Дифференциальный закон Ньютона (масса на ускорение равна силе), = F, обеспечил путь к решению любых механических задач. Уравнения электродинамики, диффузии, распространения волн и эпидемий, гидро- и аэродинамики, квантовой механики — дифференциальные.

 

Основные правила дифференцирования.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

(u ±v) ' = u'±v'

(uv)'= uv'+ u'v

Производные основных элементарных функций.

Задание: Записать таблицу производных, выучить формулы.

Производная сложной функции.

Теорема. Пусть y = f(u); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f. В предположении, что все функции имеют производные, мы получим формулу для дифференцирования сложной функции. Тогда .

Дифференциалы.

где А — некоторая константа. Ответ очевиден. Это представление имеет место тогда и только тогда, когда функция дифференцируема в точке х. При этом А = f'(x).

Теоремы о среднем

Теорема Ферма. Пусть f(x) в точке х=а дифференцируема и принима­ет локально максимальное значение, т. е. f(a)>f(x) для всех х из достаточно малой… Результат очевиден с разных точек зрения: Первый вариант. В точке максимального удаления скорость обнуляется — надо остановиться, чтобы двинуться обратно.

Формула Тейлора

, где при   Легко видеть, что многочлен имеет в точке а те же производные (до n-й включительно), что и f(x).

Монотонность, выпуклость, экстремумы

Даже такой простой факт, как f '(x) = 0 => f(x) = const, может приносить плоды. Например, для какого-нибудь сложно доказуемого тождества f(x) =…   Функция f(x) монотонно растет, если , и убывает – если . Тоже совсем прозрачный результат. Скорость изменения…