Реферат Курсовая Конспект
Аналитическая геометрия на плоскости - раздел Математика, МАТЕМАТИКА Установление Связи Между Алгеброй И Геометрией Было, По Существу, Революцией ...
|
Установление связи между алгеброй и геометрией было, по существу, революцией в математике. Это позволило воспринимать математику как единую науку и способствовало ее быстрому развитию. Создателем метода координат считают Рене Декарта, который дал описание метода координат и его применения к решению геометрических задач. Развитие идей Декарта привело к развитию целой ветви математики, которая решает геометрические задачи аналитически, т.е. алгебраическими методами и методами анализа. Эту часть математики называют аналитической геометрией.
1) Прямоугольная система координат – две взаимно перпендикулярные прямые (горизонтальная и вертикальная) с заданным масштабом.
2) Полярная система координат
Пусть на плоскости даны некоторая точка О и проходящая через нее ось ОХ. Положение любой точки М плоскости определяется расстоянием этой точки от полюса – радиус-вектором r и полярным углом между полярной осью и радиус-вектором.
Две координаты (r, ) определяют единственную точку плоскости и называются ее полярными координатами ().
Можно установить связь между декартовыми и полярными координатами одной и той же точки.
Обозначим через декартовы координаты точки М, через ее полярные координаты. Тогда зависимость между полярными координатами (r, ) точки М и ее прямоугольными координатами выражается формулами:
и обратно
.
Пример 1. Даны декартовы координаты точки М(1,-1). Найти ее полярные координаты.
Решение.
Так как х=1>0 и у=-1<0, то точка М находится в IV четверти, а значит
Итак, полярные координаты точки М().
Пример 2. Преобразовать к полярным координатам уравнение линии .
Решение.
;
;
Прямая линия и ее уравнения
В аналитической геометрии всякую линию рассматривают как геометрическое место точек, удовлетворяющих определенному свойству.
Линии на плоскости соответствует некоторое уравнение с двумя переменными х и у, , которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащие на ней. Такое уравнение называется уравнением данной линии.
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Всякая прямая в декартовой система координат может быть представлена уравнением первой степени и, наоборот, всякое уравнение первой степени относительно х и у определяет прямую линию.
Рассмотрим прямую, не параллельную осям координат. Положение ее на плоскости вполне определяется заданием угла наклона прямой к оси ОХ и ординатой точки В, точки пересечения прямой с осью OY (обозначим через ). Угол наклона прямой к оси ОХ обозначим через , .
Тогда уравнение прямой будет иметь вид
.
Пусть заданы две прямые
,
.
Формула для вычисления угла между двумя прямыми имеет вид:
Исходя из данной формулы, определим условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:
а) две прямые параллельны тогда и только тогда, когда ;
б) две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда .
2. Общее уравнение прямой имеет вид
,
где А и В – произвольные числа, не равные нулю одновременно.
3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом
Найдем уравнение прямой с данным угловым коэффициентом , проходящей через данную точку М. Тогда уравнение прямой будет иметь вид:
.
4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Даны две точки и . Тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки имеет вид:
.
5. Уравнение прямой в отрезках
Пусть даны точки и , . Уравнение прямой, проходящей через эти точки имеет вид:
6. Уравнение прямой с нормальным вектором , проходящей через точку имеет вид:
Нормальный вектор – это вектор, перпендикулярный данной прямой.
7. Каноническое уравнение прямой по точке и направляющему вектору имеет вид:
.
Направляющий вектор – вектор, параллельный данной прямой.
8. Параметрические уравнения прямой
.
Пример. Треугольник АВС задан своими вершинами А(1; 3), В(-2; 0), С(4; -1). Составить уравнение средней линии треугольника АВС, параллельной прямой ВС, и высоты, опущенной из вершины А.
Решение. а) Найдем середины отрезков АВ и АС (точки М и N соответственно):
; .
Составим уравнение прямой MN по двум точкам:
;
;
- уравнение средней линии треугольника АВС, параллельной ВС.
б) Из вершины А треугольника АВС опустим перпендикуляр АН, и составим уравнение этой прямой.
Прежде всего составим уравнение прямой ВС:
;
; ; .
Так как .
Тогда, уравнение прямой АН с угловым коэффициентом и проходящей через точку А(1;3) имеет вид:
;
;
- уравнение высоты треугольника АВС, опущенной из вершины А.
Расстояние от точки до прямой
Для вычисления расстояния от точки до прямой используется формула
Кривые второго порядка
Общее уравнение второго порядка относительно х и у члены второй степени (), первой степени () и нулевой степени (свободный член), имеет вид:
.
Хотя бы один из коэффициентов А, В, С должен быть отличен от нуля.
Данной уравнение является уравнением второй степени, а линии, уравнения которых описываются этими уравнениями, называются кривыми второго порядка на плоскости.
1. Окружность
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от точки на расстояние R.
Точка С называется центром окружности, R – радиус данной окружности.
Уравнение окружности с центром в точке и с радиусом R имеет вид:
.
Замечание 1. Если начало координат совпадает с центром окружности, то ее уравнение имеет вид:
.
Такое уравнение называется каноническим уравнением окружности.
Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка
.
Решение. Сгруппируем члены, содержащие х, и отдельно члены, содержащие у, и выделим их полные квадраты.
;
;
;
;
.
Мы получили уравнение окружности с центром в точке С(1, -2) и радиусом, равным 3.
2. Эллипс
Эллипс – это геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение эллипса в выбранной системе координат имеет вид:
,
где .
Вершины эллипса имеют следующие координаты:
.
Отрезок - большая ось эллипса, отрезок - малая ось эллипса, соответственно и - большая и малая полуоси эллипса.
Фокуса эллипса имеют следующие координаты:
. Ось симметрии эллипса, на которой находятся фокусы, называется фокальной осью.
Замечание 1. Если , тогда каноническое уравнение эллипса примет вид и определяет окружность, а значит, окружность можно рассматривать как частный случай эллипса с равными полуосями.
Замечание 2. Число называется эксцентриситетом эллипса.
Для эллипса (для окружности ). Величина эксцентриситета влияет на форму эллипса. Так, при очень малом полуоси и почти равны и эллипс напоминает окружность. Если же величина близка к единице, то эллипс имеет сильно вытянутую форму.
Замечание 3. Если фокусы эллипса расположены на оси OY, то эллипс «вытягивается» вдоль оси OY, тогда фокусы имеют координаты , .
Пример. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось .
Решение. По условию, .
Мы знаем, что .
Итак, каноническое уравнение эллипса имеет вид
.
3. Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение гиперболы в выбранной системе координат имеет вид:
,
где .
Вершины эллипса имеют следующие координаты:
.
Отрезок - большая ось эллипса, отрезок - малая ось эллипса, соответственно и - большая и малая полуоси эллипса.
Фокуса эллипса имеют следующие координаты:
.
Асимптоты гиперболы – это прямые и .
При гипербола называется равносторонней.
Замечание 1. Если мнимая ось гиперболы равна и расположена на оси ОХ, а действительная ось равна и расположена на оси ОY, то уравнение такой гиперболы имеет вид:
.
Замечание 2. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к действительной оси:
.
Для любой гиперболы , это число определяет форму гиперболы.
4. Парабола
Парабола есть геометрическое место точек на плоскости, равноотстоящих от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Каноническое уравнений параболы в выбранной системе координат имеет вид:
.
Уравнение директрисы имеет вид:
.
Фокус имеет координаты .
Замечание 1. Уравнение определяет параболу, область определения которой х<0.
Замечание 2. Парабола имеет вершину в начале координат, фокус , директрису , ветви параболы направлены в положительную сторону оси ОY, и ветви направлены в отрицательную сторону оси OY, если уравнение параболы .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
бюджетного образовательного учреждения высшего... профессионального образования Московский государственный... университет экономики статистики и информатики МЭСИ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Аналитическая геометрия на плоскости
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов