Первый замечательный предел. - раздел Математика, Введение в математический анализ При Вычислении Пределов Тригонометрических Выражений Часто Используется Преде...
При вычислении пределов тригонометрических выражений часто используется предел
.
Доказательство. Рассмотрим в круге радиуса 1 острый угол х (МОВ), хорду МВ и касательную ВС к окружности в точке В. На рисунке |AM| = sinx, дуга окружности МВ численно равна центральному углу х, а |BC| = tgx. Очевидно, что имеет место неравенства площадей соответствующих фигур . Площадь треугольника Δ МОВ равна или . Площадь сектора МОВ равна . Площадь треугольника Δ СОВ равна или .
На основании предыдущего неравенства площадей имеем
< < . Разделим неравенства на > 0 (в предположении, что ), получим < < . Так как и , то по теореме 6 существования пределов
.
Пусть теперь x < 0. Тогда , где - х > 0. Поэтому
В результате . (4.1)
Данный предел называется первым замечательным пределом.
Математический анализ анализ бесконечно малых изучает функции и их обобщения методом бесконечно малых величин... В природе и технике всюду наблюдаются движения и процессы являющиеся... Основными разделами математического анализа являются дифференциальное и интегральное...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Первый замечательный предел.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Действительные числа
Понятие действительных чисел было рассмотрено раннее в разделе «Обобщение понятия величины».
Совокупность рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел
Числовые промежутки
Пусть a и b - два числа, причём a < b. Числовыми промежутками называются множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству:
1) a ≤ х
Числовые последовательности
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность
{xn
Функциональная зависимость
Определение. Пусть Х и Y - некоторые множества действительных чисел. Предложим, что каждому элементу х множества Х по неко
Характеристики поведения функции
1. Функция у = f (х), определённая на множестве Х, называется ограниченной на этом множестве, если существует такое число М > 0, что для всех х
Обратная функция
Пусть задана функция у = f (х) с областью определения Хи множеством значений Y. Если каждому значению y
Сложная функция
Пусть функция z = φ (х) с множеством значений Z , определена на множестве Хи на множестве Z такжеопределен
Основные элементарные функции
Элементарные функции, изучаемые в школьном курсе математики, являются математическими моделями простейших механических, физических и др. явлений. Например, тригонометрические функции
Предел функции
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)
Бесконечно малые функции и их свойства
Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х ® а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если
Бесконечно малыми.
Определение. Если функция α(x) при х ® а является бесконечно малой функцией, то функция f(x) = 1/α(x) называется бесконечно большой фун
Второй замечательный предел
Рассмотрим последовательность an = . Можно показать, что данная последовательность являе
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке этого интервала (отрезка).
При этом не требуется н
Новости и инфо для студентов