Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами.

Основные свойства скалярного произведения:

< , > = < , >;

< _{, +} > = < , > + < , >;

< , l > = <l , > = l< , >;

если векторы и ненулевые, то < , > = 0 тогда и только тогда, когда векторы и ортогональны.

Выражение скалярного произведения через координаты

Лемма 12. Для всевозможных скалярных произведений базисных векторов , и имеем

= = = 1 и = = .

теорема 13. Скалярное произведение двух векторов =(а1;а2;а3) и =(b1;b2;b3) может быть вычислено по формуле

< , > = а1 b1 + а2 b2 + а3 b3

Угол между двумя векторами

Теорема 16. Косинус w между векторами а = (а_x;а_y;а_z) и b = (b_x;b_y;b_z) может быть вычислен по формуле

Замечание 4. Если ∙ = 0, то из предыдущей формулы видно, что cosw = 0. Поэтому равенство

= 0

называется условием ортогональности векторов.

13. n-мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов.