Реферат Курсовая Конспект
Элементы векторной алгебры. Линейные векторные пространства - раздел Математика, Элементы Векторной Алгебры. Линей...
|
Координаты вектора в данном базисе. Операции с векторами в координатной форме.
Рассмотрим в ЛП размерности n базис l1, l2, ... ,ln. Любой вектор ЛП разлагается в линейную комбинацию базисов. х = α1 l1+ α2 l2+ ... +αn ln (по теореме о разложении по базису), х Є ЛП.
Опр. Упорядоченный набор чисел, участвующий в разложении вектора по базису (α1, α2,… αn) называется координатами этого вектора в данном базисе.
х =( α1, α2,… αn) – координаты вектора ЛП.
Операции:
1) для того, чтобы сложить два вектора ЛП в координатной форме нужно сложить их соответствующие координаты.
Док-во: Возьмем два вектора ЛП.
|
у = (β1, β2, … βn)= β1 l1+ β2l2+…+βn ln
х + у = (α1 β1, α2 β2,… αn βn) = (α1 + β1)l1+(α2 + β2)l1+…+(αn βn)l1
2) чтобы вектор в координатной форме умножить на число нужно каждую координату умножить на это число.
Док-во: х =(α1, α2,… αn)= α1 l1+ α2 l2+ ... +αn ln
λх = (λ1α1, λ2α2,… λnαn)= λ1α1 l1+ λ2α2 l2+ ... +λnαn ln
Две теоремы о проекциях.
Теорема 1 прl(а + b)= прl a + прl b
Теорема 2 прl (λа)= λ прl а
Связь между координатами вектора и проекциями вектора на координатной оси.
прOY АВ= y1- y2
Аналогично, что прOX АВ= x1- x2
прOZ АВ= z1- z2
Вывод: проекцией вектора на координатные оси совпадает с координатами вектора.
Скалярное произведение координатных ортов.
i × j= 0, так как i ^ j (из 2°)
i × k= 0, так как i ^ k (из 2°)
k × j= 0, так как k ^ j (из 2°)
i × i=│i│2 = 12=1
j × j=│j│2 = 12=1
k × k=│k│2 = 12=1
Скалярное произведение в координатной форме.
Приложения скалярного произведения.
1) Угол между векторами
Ðj- острый, cos j> 0, отсюда следует, что a × b> 0
Ðj- тупой, cos j< 0, отсюда следует, что a × b< 0
Ðj= 90°, cos j= 0, отсюда следует, что a × b= 0
2) Проекция вектора на вектор
Пр. Дан треугольник АBС, т. A(2, -1, 3), т. B(4, 0, 1), т. С(-1, 3, 0). Найти угол А, прAC AB-?
Приложения векторного произведения.
1) S параллелограмма, построенного на векторах a и b, как на сторонах, численно равна модулю векторного произведения a ´ b.
Sпар=│a ´ b│
Из геометрии Sпар=│a ´ b│ sin φ из выражения │a ´ b│= │a││b│sin φ, отсюда следует, что Sпар=│a ´ b│
Следствие: из геометрии Sпар=│a│ha,
2)
3) a ║b, отсюда следует, что a´b= 0 (из условия коллинеарности двух векторов.
│ a´b│= │a││b│sin φ= 0,
│ a´b│= 0.
Пр. Дано a= 2p – q, b= p+ 3q, │q│=2,│p│=1, Ðj = (p, q)= . Найти Sквад-?
Дано ∆ABC, т. А(2, -1, 3), т. B(4, 0, -2), т. С(1, -1, 3). Найти S∆-?, hAB-?
Приложение смешанного произведения.
1) Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех векторах как на ребрах.
Vпарал= │abc│
Из геометрии Vпарал= Sосн· h
Sосн= Sквад= │ a´b │ из приложения векторного произведения.
h= │с││cos φ│
Vпарал= │ a´b ││c││cos φ│=│(a´b) · с │=│abc│
Следствие: высота параллелепипеда h=
2) Из геометрии Vтетр= Vпарал=│abc│
Vтетр= Sосн· h
hтетр=
3) Если смешанное произведение abc>0, то тройка векторов правая, если abc<0, то тройка векторов левая.
abc= (a´b) · с = │ a´b ││c││cos φ│
abc>0, cos φ >0, Ðj- острый, abc- правая тройка
abc<0, cos φ <0, Ðj- тупой, abc- левая тройка
4) abc- коллинеарные (║ одной плоскости или лежат в одной плоскости), abc=0- условие коллинеарности трех векторов.
a´b ^ плоскости α
a´b ^ с, (a´b) · с = 0 (условие перпендикулярности двух векторов), abc=0
Пр. Лежат ли четыре точки A(2, -1, 3), B(4, 0, 1), C(5, -1, 2), D() в одной плоскости?
Задание вектора в пространстве.
Любой вектор в пространстве имеет длину и направление. Длина вектора │а│=. Направление вектора задают три направляющих cos → cos α, cos β, cos γ, где Ðα- угол между а и ОХ, Ðβ- угол между а и ОУ, Ðγ- угол между а и OZ.
Ðα= a, i
Ðβ= a, j
Ðγ = a, k
cos α=
cos β=
cos γ=
Свойство направляющих косинусов:
cos2 α+ cos2 β+ cos2 γ= 1
Опр. Единичный вектор, имеющий своими координатами направляющие cos вектора а называется единичным вектором направления а и обозначается а0= (cosα, cosβ, cosγ).
Аналитическая алгебра.
Расстояние между двумя параллельными плоскостями.
На одной плоскости нужно взять произвольную точку и найти расстояние от этой точки до другой плоскости.
Расстояние между прямой и параллельной плоскостью.
Лекция 4. Кривые второго порядка.
Общее уравнение . Будем рассматривать окружность, эллипс, гиперболу, параболу.
– Конец работы –
Используемые теги: Элементы, векторной, алгебры, ные, Векторные, пространства0.089
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Элементы векторной алгебры. Линейные векторные пространства
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов