Выравнивание и оценка эмпирических рядов распределения

 

С учетом отмеченных в разделе 6.2 основных положений нормального распределения рассмотрим порядок выравнивания эмпирических рядов распределения с помощью нормального распределения.

Выравнивание с помощью нормального распределения.Онопроводится в такой последовательности:

1) исходный эмпирический ряд анализируется по форме (по полигону или гистограмме) и по содержанию. На основе анализа выдвигается гипотеза о соответствии распределения эмпирического ряда нормальному распределению;

2) если задан интервальный эмпирический ряд, то по каждому интервалу (группе) признака рассчитывается средняя (варианта признака);

3) на основе данных эмпирического ряда рассчитываются средняя арифметическая и стандартное отклонение ряда σ ;

4) для каждой варианты признака рассчитывается стандартная (нормированная) случайная величина , где ;

5) по приложению 1 для каждой находят значение функции ;

6) определяют теоретическую частоту

, (6.8)

где Σf_i – объем совокупности;

– интервал групп;

7) выдвинутая гипотеза проверяется с помощью критериев согласия, например, с помощью χ² (хи-квадрат, критерий согласия Пирсона), критерия Колмогорова.

Пример 6.1. Проведем проверку распределения спроса на мужскую обувь (см. табл. 6.1) на соответствие нормальному распределению.

1.Анализ формы кривой спроса (см. рис. 6.1) показывает, что она внешне совпадает с кривой нормального распределения (см. рис. 6.2). Содержание эмпирического ряда также подтверждает соответствие формы кривой спроса на обувь форме нормальной кривой. Действительно, размер обуви напрямую взаимосвязан с ростом мужчины (небольшому росту соответствует небольшой размер обуви, а большому росту – большой размер). А распределение роста взрослого человека, в т.ч. и мужчины, в достаточной мере подчиняется нормальному распределению. Это подтверждают и практические наблюдения. Число мужчин маленького или большого роста значительно меньше основного числа мужчин, рост которых близок к среднему росту. С учетом этих рассуждений выдвинем гипотезу о соответствии распределения спроса на мужскую обувь нормальному распределению.

2.Проведем проверку выдвинутой гипотезы. Для этого на основе данных табл. 6.1 сформируем табл. 6.3, где и осуществим необходимые расчеты в отмеченной выше последовательности.

Вначале рассчитаем содержание графы 4, как произведение соответствующих данных граф 2 и 3.

 

Таблица 6.3

Группы размеров обуви	Размер обуви	Число пар обуви
36,5…37,5 37,5…38,5 38,5…39,5 39,5…40,5 40,5…41,5 41,5…42,5 42,5…43,5 43,5…44,5 44,5…45,5				59,408 71,415 90,038 39,948 6,075 6,958 48,05 110,542 88,218	–2,31 –1,79 –1,27 –0,75 –0,23 0,28 0,80 1,32 1,84	0,0277 0,0804 0,1781 0,3011 0,3885 0,3836 0,2897 0,1669 0.0734
Итого	–			520,652	–	–

 

Затем определим средний размер обуви как среднюю арифметическую взвешенную на основе итоговых данных граф 3 и 4:

.

Теперь определим содержание каждой строки графы 5. Так, для первой строки ()

.

Аналогичным образом рассчитываются данные и по другим строкам графы 5.

По итоговым данным граф 5 и 3 определим дисперсию и стандартное отклонение

; .

Теперь в графе 6 рассчитаем стандартную (нормированную) случайную величину . Для первой строки графы 6

.

Аналогичным образом рассчитываются данные и по другим строкам графы 6.

Данные графы 6 позволяют определить в графе 7 значения функции плотности стандартной нормальной величины с помощью приложения 1. Порядок пользования приложением 1 описан на с.9. Так, для , пользуясь приложением 1, находим . Аналогичным образом находятся все остальные значения функции . При этом необходимо помнить, что эта функция является четной, т.е и в данном случае на знак переменной можно не обращать внимание.

И, наконец, в графе 8 определим теоретические частоты для исходного эмпирического ряда. Так, для первой строки графы 8 теоретическая частота

.

Аналогичным образом для остальных строк графы 8 рассчитываются остальные теоретические частоты. Напомним, что интервал определен по данным первой графы и равен единице (37,5–36,5=1), а сами теоретические частоты рассчитываются с точностью до целого числа.

Сравнивая полученные теоретические частоты (графа 8) с фактическими (графа 3), мы можем отметить, что они достаточно близки, а их незначительное расхождение объясняется, в первую очередь, тем, что исходные данные получены выборочным путем. Близость теоретических и эмпирических частот особенно видна на рис.6.5.

Такая близость частот может говорить о правильности выдвинутой нами гипотезы. Однако отметим, что эмпирический (140) и теоретический (137) объемы совокупности не совпадают. Это может объяснено как округлением при расчетах, так и тем, что нормальное распределение не ограничено рамками объема эмпирической совокупности.

Оценка случайности расхождения эмпирических и теоретических частот. Чтобы подтвердить наш субъективный вывод о соответствии эмпирического распределения ряда нормальному используем критерии согласия: χ² (хи-квадрат, критерий согласия Пирсона).

, (6.9)

где – эмпирическая частота i-й варианты признака ;

– теоретическая частота i-й варианты признака .

В основе критерия согласия Пирсона лежит оценка разности между эмпирическими и теоретическими частотами . Если разность незначительна, то эмпирическое распределение ряда соответствует нормальному.

Сами значения критерия согласия χ² табулированы и приведены в приложении 2. Таблица приложения 2 (в зависимости от числа столбцов). может иметь следующий вид, как, например, табл. 6.4. Значение критерия согласия χ² находится в таблице на пересечении строки k (число степеней свободы) и столбца γ (доверительная вероятность).

Таблица 6.4

k	γ
0,9	0,95
и т.д.	2,71 4,60 6,25 …	3,84 5,99 7,82 …

Число степеней свободы k – это число вариантов, которое может принимать случайная величина для заданных условий. Для χ² k=n–3, где n – число групп в эмпирическом ряде распределения, а цифра 3 определяет число показателей (условий) (), которые должны быть неизменны при использовании χ².

Доверительная вероятность γ – это вероятность, с которой выдвигаемая гипотеза может быть принята; γ=1–a, где a – уровень значимости.

Уровень значимости a – это вероятность, с которой выдвигаемая гипотеза может быть ошибочно отвергнута. Уровень значимости может принимать различные значения: 0,1; 0,05; 0,01 и т.д. Их выбирает сам исследователь. В практических расчетах, как правило, a = 0,05. Это означает, что из 100 случаев при оценке случайной величины, исследователь ошибется в пяти случаях.

Применение критерия согласия χ² обусловлено рядом условий, которые должны быть выполнены:

а) объем совокупности эмпирического ряда должен быть не менее 50 единиц;

б) частота по каждой группе (варианте признака) должна быть не менее 5. В противном случае маленькие частоты соседних групп должны быть объединены;

в) данные эмпирического ряда должны быть получены в результате случайного отбора.

Расчет критерия согласия χ² проводится в такой последовательности.

1. Выдвигается нулевая гипотеза о соответствии эмпирического распределения нормальному.

2. Определяется расчетное значение критерия согласия χ²_р.

3. Определяются доверительная вероятность и число степеней свободы по данным эмпирического ряда.

4. Рассчитывается теоретическое значение критерия согласия .

5. Сопоставляются расчетное и теоретическое значения критерия согласия. Если , то с выбранной доверительной вероятностью выдвинутая нулевая гипотеза принимается. Если , то выдвинутая нулевая гипотеза отвергается.

Пример 6.2. Проведем в графе 6 табл. 6.5 расчет критерия согласия χ² по исходным данным, приведенным в графах 1, 2, 3, 8 табл. 6.3.

Таблица 6.5

Группы обуви	Номер группы (строки)	Размер обуви	Число пар обуви	Теоретическа частота
36,5…37,5 37,5…38,5 38,5…39,5 39,5…40,5 40,5…41,5 41,5…42,5 42,5…43,5 43,5…44,5 44,5…45,5					- 0,13 0,31 0,41 0,14 0,89 0,05 2,08 0,80
Итого	–	–			4,81

 

Сам расчет проведем в такой последовательности.

1. Ранее проведенный анализ спроса на мужскую обувь, а также выравнивание исходных данных позволяют выдвинуть гипотезу о соответствии распределения спроса на мужскую обувь нормальному распределению.

2. Определим расчетное значение критерия согласия . Начинать рассчитывать первое слагаемое критерия согласия с первой строки графы 8 (см. табл. 6.5) мы не может, так как не выполняется условие б) (см. с.14), поскольку эмпирическая частота в первой строке графы 4 равна 3. Поэтому объединим эмпирические (графа 4) и теоретические (графа 5) частоты первой и второй строк и начнем считать со второй объединенной строки

.

Определим теперь следующее слагаемое критерия согласия для третьей строки

и так далее по другим строкам. Найдем итоговую сумму по графе 6. Это и будет расчетное значение критерия согласия, т.е. =4,81.

3. Определим по исходным данным (см. табл. 6.5) число степеней свободы. Число групп в табл.6.5 равно 9 (графа 2). Но поскольку мы объединили первую и вторую строки, т.е. уменьшили число групп на единицу, постольку число степеней свободы k=n–3=8–3=5. Возьмем стандартный уровень значимости a=0,05. Тогда доверительная вероятность γ=1–a=1–0,05=0,95.

4. С учетом рассчитанных числа степеней свободы и доверительной вероятности по приложению 2 найдем теоретическое значение критерия согласия ; =11,07.

5. Сопоставим расчетное и теоретическое значения критерия согласия. В результате получаем , так как 4,81<11,07. Результат сопоставления позволяет сделать вывод: с вероятностью 0,95 можно утверждать, что распределение спроса на мужскую обувь соответствует нормальному распределению.

Полученный вывод позволит менеджеру обувного магазина более обоснованно осуществлять оптовые закупки обуви по размерам, определять необходимые оборотные средства, осуществлять плановые и прогнозные расчеты.