Реферат Курсовая Конспект
ТР: АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ - раздел Математика, Тр: “Алгебра И Аналитическая Геомет...
|
ТР: “АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ”
Задача 1. Вычислить определитель.
Задача 2. Даны матрицы и . Найти матрицу .
Задача 3. Найти произведение матриц . Существует ли
произведение ? Почему?
Задача 4. Найти обратную матрицу для матрицы . Сделать проверку.
Задача 5. Решить матричное уравнение.
Задача 6. Найти ранг матрицы.
Задача 7. Решить систему линейных уравнений:
1) по формулам Крамера;
2) с помощью обратной матрицы;
3) методом Гаусса.
ВАРИАНТ 1
1. 2. , ,
3. , 4. 5.
6. 7. 8.
9. , , и
10. Вычислить проекцию вектора на направление вектора,
где ; .
11. Векторы и образуют угол в , , . Найти длину
вектора , если .
12. Лежат ли точки , , и в одной
плоскости?
13. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин
и уравнения двух высот: и .
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось и точку
.
15. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку
перпендикулярно к вектору и пересекает прямую
.
16. Принадлежит ли прямая плоскости ?
ВАРИАНТ 2
1. 2. , ,
3. ,4.5.
6. 7. 8.
9. , , и
10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и
.
11. Сила приложена к точке . Определить момент
этой силы относительно точки .
12. Какую тройку (левую или правую) образуют векторы ,
и ?
13. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину ,
а также уравнения высоты и медианы ,
проведенных из различных вершин.
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и
отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки.
15. Составить каноническое уравнение прямой, лежащей в плоскости ,
проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой
.
16. Найти угол между прямой и плоскостью, проходящей
через точки , , .
ВАРИАНТ 3
1. 2. , ,
3. , 4. 5.
6. 7. 8.
9. , , и
10. При каком t векторы и будут взаимно
перпендикулярны?
11. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и
, если , угол между векторами и равен .
12. Компланарны ли векторы , и ?
13. Через точку пересечения прямых и провести
прямую, которая, кроме того, 1) проходит через начало координат;
2) параллельна оси абсцисс; 3) параллельна оси ординат;
4) проходит через точку .
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 2; 0) и
N(2; 1; 1) параллельно вектору (3; 0; 1).
15. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (3; -2; 0) перпен-
дикулярно к прямой и расположенной в плоскости .
16. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения
плоскости с прямыми и
.
ВАРИАНТ 4
1. 2. , ,
3. , 4. 5.
6. 7. 8.
9. ={11; 5; -3}, ={1; 0; 2}, ={-1; 0; 1} и {2; 5; -3}
10. Доказать ,что точки А(1; -1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1), D(4; -1; 1) являются
вершинами прямоугольника. Вычислить длину его диагоналей.
11. Вычислить площадь треугольника ABC, вершины которого лежат в точках
А(2; 3; 4), B(4; 3; 2), и C(1; 1; 1).
12. При каком значении точки А(1; 0; 3), B(-1; 3; 4), C(1; 2; 1), и D(; 2; 5)
лежат в одной плоскости?
13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых
и и через точку A(2; 1).
14. Даны координаты вершин тетраэдра А(2; 0; 0), B(5; 3; 0), C(0; 1; 1),
D(-2; -4; 1). Найти двугранный угол между гранями ABC и ABD.
15. При каком значении прямые и
параллельны?
16. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4; 0; -1) и
пересекающей две данные прямые и .
ВАРИАНТ 5
1. 2. , ,
3. , 4. 5.
6. 7. 8.
9. ={13; 2; 7}, ={5; 1; 0}, ={2; -1; 3} и ={1; 0; -1}
10. В прямоугольном треугольнике АВС углы при вершинах А и С равны и
, а длина гипотенузы равна 2. Вычислить
11. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам ={0; -1; 2} и
={1; 3; 3} и удовлетворяет условию .
12. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(0; 0; 1), B(2; 3; 5),
C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
13. Вычислить координаты вершины ромба, если известны уравнения двух его
сторон: x + 2y = 4 и x + 2y = 10 , и уравнение одной из его диагоналей:
y = x + 2 .
14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 1; 1) и N(-1; 1;-1)
параллельно прямой , определяемой точками А(5; -2; 3) и В(6; 1; 0).
15. При каком значении D прямая проходит через начало
координат?
16. Найти точку , симметричную точке А(3; -1; 4) относительно прямой
.
ВАРИАНТ 6
1. 2. , ,
3. , 4.
5.
6. 7. 8.
9. ={2; 7; 5}, ={1; 0; 1}, ={1; -2; 0} и ={0; 3; 1}
10. Даны точки А(0; -3; 4), В(2; 5; -1) и С(-4; 2; -2). Вычислить скалярное
произведение векторов и
11. Найти длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины С на
сторону АВ, если A(2; 3; 4), B(4; 3; 2) и C(1; 1; 1).
12. Какую тройку (правую или левую) образуют векторы ,
и ?
13. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дана
вершина прямого угла С(3; -1) и уравнение гипотенузы 3x – y + 2 = 0.
14. Составить уравнение плоскости, проходящей через перпендикуляры,
опущенные из точки А(2; 0; 1) на плоскости x – 3y +2z = 0 и 2x – y + 2z = 0.
15. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку
М(2; 1; 3), параллельно прямой x = 3+t , y = 3t, z = 2-t.
16. Найти угол между прямой, проходящей через точки А(-1; 0; -5) и В(1; 2; 0),
и плоскостью x – 3y + z + 5 = 0.
ВАРИАНТ 7
1
. 2. , ,
3. , 4.
5.
6. 7. 8.
9. ={-9; 5; 5}, ={4; 1; 1}, ={2; 0; -3} и ={-1; 2; 1}
10. Треугольник АВС задан координатами своих вершин А(-1; -2; 4), В(-4; -2; 0)
и С(3; -2; 1). Определить его внешний угол при вершине В.
11. Раскрыть скобки и упростить выражение:
.
12. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах
, , , где и - взаимно
перпендикулярные орты.
13. Стороны АВ и ВС параллелограмма заданы уравнениями 2x – y + 5 = 0 и
x – 2y + 4 = 0, диагонали его пересекаются в точке М(1; 4). Найти уравнение
сторон CD и AD.
14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; -3; 1)
параллельно векторам и .
15. Даны вершины треугольника А(1; 0; -1), В(2; 1; 3), С(0; -1; 1). Составить
уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.
16. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки А(-1; 3; 2) на
плоскость 2x – y + z + 3 = 0.
ВАРИАНТ 8
1. 2. , ,
3. , 4. 5.=
6. 7. 8.
9. ={-5; -5; 5}, ={-2; 0; 1}, ={1; 3; -1} и ={0; 4; 1}
10. Найти координаты вектора , коллинеарного вектору ={3; -4; 0}, если известно, что вектор образует с осью тупой угол и =10.
11. ={3; 1; -1}, ={-2; 1; 4}. Вычислить .
12. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(0; 0; 1), B(2; 3; 5),
C(6; 2; 3) и D(3; 7; 2).
13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М пересечения
прямых 2x + y + 6 = 0 и 3x + 5y – 15 = 0 и через точку N(1; -2).
14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 5; 3) параллельно
плоскости x + 2y - 3z + 2= 0 .
15. При каком значении прямые и
перпендикулярны?
16. Проверить, что прямые и пересекаются.
Найти уравнение плоскости, в которой они лежат.
ВАРИАНТ 9
1. 2. , ,
3.,4.5.
6.7.8.
9. ={13; 2; 7}, ={5; 1; 0}, ={2; -1; 3} и ={1; 0; -1}
10. По координатам вершин треугольника АВС A(1; 1; -1), B(2; 4; -1) и
C(8; 3; -1) выяснить, является ли он прямоугольным, остроугольным или
тупоугольным.
11. Раскрыть скобки и упростить выражение:
.
12. При каком m векторы , и
компланарны?
13. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: 3x + 2y = 12, уравнение
высоты BM: x + 2y = 4 , уравнение высоты АМ: 4x + y = 6, где М - точка
пересечения высот. Написать уравнения сторон АС и ВС.
14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2; 3; -1) и В (1; 5; 3)
перпендикулярно плоскости 3x – y + 3z + 15 = 0 .
15. Через точку М(2; -1; 3) провести прямую, параллельную прямой
.
16. Написать каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку
М(3; -2; -4) параллельно плоскости 3x – 2y – 5z – 7=0 и пересекает прямую
.
ВАРИАНТ 10
1. 2. , ,
3. , 4. 5. =
6. 7. 8.
9. ={-19; -1; 7}, ={0; 1; 1}, ={-2; 0; 1} и ={3; 1; 0}
10. Проверить будет ли треугольник АВС (A(1; 2; 3), B(7; 10; 3), C(-1; 3; 1))
прямоугольным?
11. Раскрыть скобки и упростить выражение:
.
12. Найти объем параллелепипеда с вершинами в точках A(2; 2; 2), B(4; 3;3),
C(4; 5; 4) и D(5; 5; 6).
13. Дано уравнение 3x + 4y – 12 = 0 стороны АВ параллелограмма ABCD,
уравнение x + 12y - 12 = 0 диагонали АС и середина Естороны ВС.
Найти уравнения сторон ВС, СD и AD.
14. Cоставить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; -3; 5)
перпендикулярно линии пересечения плоскостей 2x + y - 2z + 1 = 0 и
x + y + z –5 = 0 .
15. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую
.
16. При каком значении плоскость 5x – 3y + z + 1 = 0 будет параллельна
прямой ?
ВАРИАНТ 11
1. 2. , ,
3., 4. 5.=
6. 7. 8.
9. ={3; -3; 4}, ={1; 0; 2}, ={0; 1; 1} и ={2; -1; 4}
10. Найти работу силы ={4; -1; 1} на перемещении ={5; 3; -2}.
11. Вычислить координаты вектора , перпендикулярного векторам
и и образующего тупой угол с осью , если
.
12. Доказать, что точки A(1; -2; 2), B(1; 4; 0), C(-4; 1; 1) и D(-5; -5; 3) лежат в
одной плоскости.
13. Даны уравнения сторон параллелограмма ABCD: AB: 3x + 4y - 12 = 0,
AD: 5x - 12y - 6 = 0 и середина Е(-2; 1) стороны BC. Найти уравнения двух
других сторон параллелограмма.
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
(1; 2; 0), (2; 1; 1), (3; 0; 1).
15. Через точку А(0; -2; 1) провести прямую так, чтобы она пересекала две
данные прямые и
16. Найти расстояние от точки А(2; 3; -1) до прямой .
ВАРИАНТ 12
1. 2. , ,
3. , 4. 5.=
6. 7. 8.
9. ={8; 0; 5}, ={2; 0; 1}, ={1; 1; 0} и ={4; 1; 2}
10. Найти скалярное произведение векторов и , если
и .
11. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и
, если , а угол между векторамии равен .
12. Какую тройку (левую или правую) образуют векторы ,
, ?
13. Даны вершины треугольника А(2; 1), B(-1; -1), C(3; 2). Составить уравнение
высоты, опущенной на сторону ВС, и медианы, проведенной к стороне АС.
14. Плоскость проходит через ось и составляет с плоскостью
2x + y -z = 0 угол . Найти её уравнение.
15. Пересекаются или нет прямые и ?
16. Найти проекцию точки М(0; 1; 2) на прямую .
ВАРИАНТ 13
1. 2. , ,
3., 4. 5.=
6. 7. 8.
9. ={3; 1; 8}, ={0; 1; 3}, ={1; 2; -1} и ={2; 0; -1}
10. Найти угол между векторами и , если и
.
11. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
{2; -1; 5} и {2; 3; 6} как на сторонах.
12. Проверить, компланарны ли векторы , ,
.
13. Найти проекцию точки М(1; 1) на прямую .
14. Написать уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через
точки А(-1; 2; 1) и В(3; 0; 2).
15. Проверить, пересекаются ли прямые и
.
16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую
, перпендикулярно плоскости 3x + y – 2z + 5 = 0.
ВАРИАНТ 14
1. 2. , , C=2A-3B
3., 4. 5.=
6. 7. 8.
9. ={8; 1; 12}, ={1; 2; -1}, ={3; 0; 2} и ={-1; 1; 1}
10. Даны векторы и . При каком векторы
и перпендикулярны?
11. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках А(2; 2; 2),
B(4; 0; 3) и C(0; 1; 0).
12. Проверить будут ли компланарны векторы , и
?
13. Найти точку N, симметричную точке М(0; -3) относительно прямой
.
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось и точку
M(2; -1; 3).
15. Даны вершины треугольника А(1; 0; 2), B(-2; 3; -1), C(3; -2; 4). Составить
уравнение медианы из вершины В на сторону АС.
16. Через прямую x = 2t + 1, y = -t + 2, z = 3t – 2 провести плоскость
параллельную прямой .
ВАРИАНТ 15
1. 2. , ,
3. , 4.
5.
6. 7. 8.
9. ={-9; -8; -3}, ={1; 4; 1}, ={-3; 2; 0} и ={1; -1; 2}
10. Найти скалярное произведение векторов и , если
, .
11. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам и
и удовлетворяет условию .
12. Заданы точки А(1; 2; -2), B(3; 2; -1) , C(0; 1; -2) и D(3; 2; 3). Найти объем
тетраэдра АBCD.
13. Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину С(1; 2), а так-
же уравнения высоты x – 2y + 1 = 0 и медианы 4x + y + 2 = 0, проведенных
из одной вершины.
14. Из точки Р(2; -1; 3) опущен на плоскость перпендикуляр, его основание
М(1; 2; 4). Найти уравнение плоскости.
15. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку А(1; -5; 3) и
образует с осями координат углы, соответственно равные , , .
16. Найдите точку В, симметричную точке А(2; 0; 1) относительно прямой
.
ВАРИАНТ 16
1. 2. , ,
3., 4. 5.=
6. 7. 8.
9. ={-5; 9; -13}, ={0; 1; -2}, ={3; -1; 1} и ={4; 1; 0}
10. Векторы и образуют угол . Найти длину вектора , если
, .
11. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и
, если , а угол между векторами и равен .
12. Компланарны ли векторы ?
13. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: 3x – 4y + 5 = 0,
уравнение высоты АМ: x + 2y – 10 = 0 и высоты BN: 2x – 3y + 4 = 0.
Составить уравнения двух других сторон треугольника.
14. Через линию пересечения плоскостей 4x – y + 3z – 1 = 0 и x + 5y – z +2 = 0
провести плоскость, проходящую через точку M(1; 1; 1).
15. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(-1; 0; 3) на
прямую .
16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую
и перпендикулярной к плоскости 2x + 3y – z = 4.
ВАРИАНТ 17
1. 2. , ,
3. , 4. 5.
6. 7. 8.
9. ={3; 3; -1}, ={3; 1; 0}, ={-1; 2; 1} и ={-1; 0; 2}
10. Найти при каком векторы и будут
взаимно перпендикулярны, если , .
11. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
и как на сторонах.
12. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A(1; 3; 6), B(2; 2; 1),
C(-1; 0; 1), D(-4; 6; -3).
13. Найти уравнения прямых, проходящих через точку М(-1; 2) под углом
к прямой x – 2y + 3 = 0.
14. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и
перпендикулярной к двум плоскостям: 2x – y + 5z + 3 = 0 и x + 3y – z – 7 = 0.
15. Даны точки пересечения прямой с двумя координатными плоскостями
и . Вычислить координаты точки пересечения этой же
прямой с третьей координатной плоскостью.
16. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М(1; 0; -1) на
прямую .
ВАРИАНТ 18
1. 2. , , C=
3. , 4. 5.=
6. 7. 8.
9. ={2; -1; 11}, ={1; 1; 0}, ={0; 1; -2} и ={1; 0; 3}
10. Заданы точки A(-2; 4; 0), B(1; 3; -5), C(0; -1; 1) и вектор .
Вычислить скалярное произведение векторов и .
11. Найти орт , перпендикулярный векторам и .
12. Заданы векторы , и . Какую тройку
(левую или правую) образуют векторы , и ?
13. Даны две вершины треугольника А(5; -2) и B(-4; 1); его высоты
пересекаются в точке N(3; 2). Найти координаты третьей вершины С.
14. Через точку M(-5; 16; 12) проведены две плоскости: одна из них содержит
ось , другая - ось . Вычислить угол между этими двумя плоскостями.
15. Указать особенность в расположении прямой
16. Найти точку В, симметричную точке А(1; 2; 0) относительно плоскости
2x – 3y + 5z = 5.
ВАРИАНТ 19
1. 2. , ,
3. , 4.
5.
6. 7. 8.
9. ={5; 15; 0}, ={1; 0; 5}, ={-1; 3; 2} и ={0; -1; 1}
10. Определить угол между векторами и .
11. Вычислить векторное произведение векторов и , если
, .
12. Проверить, лежат ли точки А(5; 2; 0), В(2; 5; 0), С(1; 2; 4) и D(-1; 1; 1) в
одной плоскости?
13. Найти точку В, симметричную точке А(4; -3) относительно прямой,
проходящей через точки М(1; -2) и N(-3; 2).
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения
плоскостей 4x – y + 3z – 6 = 0 и x + 5y – z +10 = 0 и перпендикулярной к
плоскости 2x – y + 5z – 5 = 0.
15. При каких значениях коэффициентов B и D прямая
лежит в плоскости ?
16. Найти точку пересечения прямой x = 2t – 1, y = t + 2, z = 1 – t c плоскостью
3x – 2y + z - 3 = 0.
ВАРИАНТ 20
1. 2. , , С=
3., 4. 5.=
6. 7. 8.
9. ={6; -1; 7}, ={1; -2; 0}, ={-1; 1; 3} и ={1; 0; 4}
10. Найти угол между векторами и , если А(-4; -2; 0), В(-1; -2; 4) и С(3; -2; 1).
11. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и
.
12. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А(2; -1; -2), В(1; 2; 1),
С(5; 0; -6) и D(-10; 9; -7).
13. Найти проекцию точки Р(4; 5) на прямую, проходящую через точки А(3; -2)
и В(6; -1).
14. Найти угол между плоскостью, проходящей через точки О(0; 0; 0),
A(a; -a; 0) и B(a; a; a), и плоскостью .
15. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты в уравнениях
прямой , чтобы прямая пересекала ось ?
16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямые
и .
ВАРИАНТ 21
1. 2. , ,
3., 4. 5.
6.7.8.
9. ={-1; 7; -4}, ={-1; 2; 1}, ={2; 0; 3} и ={1; 1; -1}
10. Найти угол между векторами и , если А(2; 1; -1), В(6; -1; -4) и
С(4; 2; 1).
11. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и
.
12. Проверить, лежат ли точки А(5; 2; 0), В(2; 5; 0), С(1; 2; 4) и D(-1; 1; 1) в
одной плоскости?
13. Даны две смежные вершины А(5; -2) и В(3; 1) параллелограмма ABCD и
точка Q(0; 2) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон BC и
CD и прямой, проходящей через точку Q параллельно стороне ВС.
14. Написать уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через
точки A(2; 2; 0) и B(4; 0; 0).
15. Указать особенность в расположении прямой .
16. Найти проекцию точки М(3;1;-1) на плоскость x + 2y + 3z – 30 = 0.
ВАРИАНТ 22
1. 2. , ,
3. , 4.
5. =
6. 7. 8.
9. ={6; 5; -14}, ={1; 1; 4}, ={0; -3; 2} и ={2; 1; -1}
10. Вычислить проекцию вектора на направление вектора , где
А(7; 3; -2), В(8; 2; -2).
11. Раскрыть скобки и упростить выражение .
12. Проверить, будут ли компланарны векторы , ,
?
13. Вершины треугольника А(-3; 3), В(5; 1), С(6; -2). Составить уравнения:
а) медианы, проведенной из вершины С;
б) высоты, опущенной из вершины А на сторону BC.
14. Найти угол между плоскостями x – 2y + 2z – 8 = 0 и x + z – 6 = 0.
15. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М(-1; 2; 3) на
ось .
16. Через точку М(1;-1; 2) провести плоскость так, чтобы она была параллельна
прямым и .
ВАРИАНТ 23
1. 2. , ,
3., 4. 5.
6. 7.
8.
9. ={-15; 5; 6}, ={0; 5; 1}, ={3; 2; -1} и {-1; 1; 0}
10. Заданы точки А(-2; 4; 0), В(1; 3; -5) и С(0; -1; 1) и вектор .
Вычислить скалярное произведение векторов () и ).
11. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах
и .
12. Какую тройку (левую или правую) образуют векторы , и ,
если А(1; 1; -1), В(2; 3; 1), С(3; 2; 1) и D(5; 9; 8).
13. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M(1; -4) и
a) параллельной прямой 2x – 3y = 1;
б) перпендикулярной прямой 5x – 7y + 3 = 0.
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M(-1; -1; 2) и
перпендикулярной к плоскостям x – 2y + z – 4 = 0 и x + 2y - 2z + 4 = 0.
15. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M(-1; 3; 2)
параллельно оси .
16. Найти проекцию точки A(2; 3; 4) на прямую x = y = z.
ВАРИАНТ 24
1. 2. , ,
3., 4. 5.=
6. 7. 8.
9. ={8; 9; 4}, ={1; 0; 1}, ={0; -2; 1} и {1; 3; 0}
10. Найти работу силы на перемещении , если , ,
.
11. Заданы точки А(0; 2; 0), В(3; 0; -4), С(2; 1; 1) и D(-1; -1; -1). Вычислить
векторное произведение векторов () и .
12. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах , , .
13. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма: x - y -1 = 0;
x – 2y = 0 и точка пересечения его диагоналей М(3; -1). Найти уравнения
двух других сторон параллелограмма.
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось и точку
M(2; -4; 3).
15. Найти угол между прямыми: и .
16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую
и точку M(3; 4; 0).
ВАРИАНТ 25
1. 2. , ,
3., 4. 5.
6. 7. 8.
9. ={23; -14; -30}, ={2; 1; 0}, ={1; -1; 0} и {-3; 2; 5}
10. Определить угол между векторами и .
11. Найти вектор , зная, что он удовлетворяет условию и
перпендикулярен векторам и .
12. Найти объём тетраэдра, построенного на векторах ,
и .
13. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку М(-2; 6) и
составляющей с осью угол, вдвое меньший угла, который составляет с
осью прямая y – 3x + 5 = 0.
14. Написать уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через
точки А(0; 1; 3) и В(2; 4; 5).
15. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку
М(1; 2; -3) параллельно прямой: .
16. При каких значениях и прямая лежит в плоскости
x + 2y – z + 1 = 0.
ВАРИАНТ 26
1. 2. , ,
3., 4. 5.=
6. 7. 8.
9. ={3; 1; 3}, ={2; 1; 0}, ={1; 0; 1} и {4; 2; 1}
10. Найти скалярное произведение векторов и , если
, и угол между векторами и равен .
11. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(1; 1; 1), B(2; 3; 4) и
C(4; 3; 2).
12. Найти объём тетраэдра, построенного на векторах , ,
.
13. Вершины треугольника A(1; 4), B(2; 5), C(5; -2). Найдите точку пересечения
стороны АВ с перпендикуляром, восстановленным из середины стороны АС.
14. Даны точки А(1; 3; -2) и В(7; -4; 4). Через точку В провести плоскость,
перпендикулярную к отрезку АВ.
15. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(-4; 3; 0) и
параллельной прямой .
16. При каких значениях коэффициентов и плоскость x + y – 2z + 1 = 0
перпендикулярна прямой ?
ВАРИАНТ 27
1. 2. , ,
3. , 4.
5.
6. 7. 8.
9. ={-1; 7; 0}, ={0; 3; 1}, ={1; -1; 2} и {2; -1; 0}.
10. Найти угол между векторами и , если A(3; 3; -1), B(5; 1; -2) и
C(4; 1; 1).
11. А(1; 0; -3), B(-2; 1; -1), C(2; -1; 0) и D(3; -3; 3). Найти векторное
произведение векторов и .
12. Проверить, лежат ли в одной плоскости точки с координатами А(1; 1; 1),
B(2; 3; 1), C(3; 2; 1) и D(5; 9; 8).
13. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины
острого угла (1; -2) и уравнение противолежащего катета: 3x – 4y + 2 = 0.
Составить уравнения двух других сторон треугольника.
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(-1; -2; 0) и
В(1; 1; 2) и перпендикулярный к плоскости x + 2y + 2z – 4 = 0 .
15. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
М(2; 3; -1) параллельно вектору =(5; -3; 2).
16. При каком значении коэффициента плоскость x + 2y – z + 3 = 0
параллельна прямой ?
ВАРИАНТ 28
1. 2. , ,
3., 4. 5.=
6. 7. 8.
9. ={11; -1; 4}, ={1; -1; 2}, ={3; 2; 0} и {-1; 1; 1}.
10. Вычислить площадь треугольника АВС, если A(1; -2; 2), B(1; 4; 0) и
C(-4; 1; 1).
11. Найти угол между векторами и , если А(2; 3; 2), B(-1;-3;-1),
C(-3;-7;-3).
12. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах , и ,
если А(5; 2; 0), B(2; 5; 0), C(1; 2; 4) и D(-1; 1; 1).
13. Вершины треугольника А(2; 0), B(5; 3), C(3; 7). Найти уравнение прямой,
проходящей через вершину В и параллельной медиане АМ треугольника.
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (1; -1; 2),
(2; 1; 2) и (1; 1; 4).
15. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(1; -1; 0) и
перпендикулярной к плоскости 2x – 4y + z = 3.
16. При каком значении прямая параллельна плоскости
2x + y – z = 0?
ВАРИАНТ 29
1. 2. , ,
3. , 4.
5.
6. 7. 8.
9. ={-13; 2; 18}, ={1; 1; 4}, ={-3; 0; 2} и {1; 2; -1}.
10. Вычислить проекцию вектора на ось вектора .
11. Найти орт , перпендикулярный векторам и .
12. Проверить, лежат ли точки А(2; 3; 1), B(4; 1; -2), C(6; 3; 7) и D(7; 5; -3) в
одной плоскости.
13. Вершины треугольника А(0; 4), B(2; -3), C(-4; 5). Составить уравнение
высоты, опущенной из вершины С на медиану, проведенную из вершины А.
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 1; 1):
а) перпендикулярно и б) параллельно плоскости 2x + 4y + z – 5 = 0.
15. Найти угол между прямыми и .
16. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(2; 3; -1) и
перпендикулярной к плоскости 2x + 4y – 3z = 2.
ВАРИАНТ 30
1. 2. , ,
3. , 4.
5. =
6. 7. 8.
9. ={0; -8; 9}, ={0; -2; 1}, ={3; 1; -1} и {4; 0; 1}.
10. Определить внешний угол при вершине А треугольника АВС, если
А(3; 2; -3), B(5; 1; -1) и C(1; -2; 1).
11. Вычислить площадь треугольника АВС, если А(1; -2; 2), B(-5; -5; 3),
C(-4; 1; 1).
12. Будут ли компланарны векторы , и ?
13. Вершины треугольника А(2; -1), B(4; 5), C(-3; 2). Написать уравнение
прямой, проходящей через начало координат и центр тяжести треугольника
АВС.
14. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М(2; -1; 1)
перпендикулярно плоскостям 2x - y + 3z – 1 = 0 и x + 2y + z = 0.
15. Составить каноническое уравнение прямой .
16. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; -1; 3)
перпендикулярно прямой .
– Конец работы –
Используемые теги: Алгебра, Аналитическая, Геометрия0.072
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ТР: АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов