Лекция 2. Размерность и базис линейного пространства.

Все темы данного раздела:

Элементы векторной алгебры. Линейные (векторные) пространства.
Опр. Множество L называется линейным (векторным) пространством, если на нем введены две операции: сложение и умножение на число, удовлетворяющие 8 аксиомам, т.е: 1) для любых х; у Є

Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства.
Дана система векторов а1, а2, а3, … аn Є линейному пространству L. Опр. Вектор α1 а1+ α2 а

Теорема о линейной зависимости системы векторов линейного пространства.
Теорема 1 Необходимое и достаточное условие линейной зависимости. Для того чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы какой-

Теорема о разложении вектора по базису.
Опр. Любой вектор ЛП разлагается, причем единственным образом в ЛК базисных векторов этого пространства. Док-во: Рассмотрим ЛП размерностью n с базисом l1, l2

Лекция 3. Декартовая система координат.
Рассмотрим три не нулевых, не коллинеарных вектора в пространстве l1, l2, ... ,ln- это базис ЛП V3. Приведем эти векторы к общему началу в точке О и расп

Координаты точки, радиус- вектор точки, произвольные вектора. Длина вектора.
Возьмем в пространстве произвольную точку М (х, у, z). Первая координата х - абсцисса- это проекция т. М на ось ОХ. Вторая у – ордината – это проекция т. М на ось ОУ. Третья z – аппликата – ось OZ.

Проекция вектора на ось.
Опр. Проекция вектора на ось называется число модуль, которого равен проекции на эту ось отрезка, задающего вектор, причем число берется со знаком «+», если координата конца вектора больше к

Условие коллинеарности двух векторов.

Лекция 4. Скалярное произведение векторов.
Опр. Скалярное произведение двух векторов называется число равное произведению длин этих векторов (модулей) на cos угла между векторами. По определению a · b= │a│

Свойства скалярного произведения.
1° a · b = b · a a · b= │a││b│· cos φ= │b││a│· cos φ= b · a   2° a · b= 0, т.к. a

Возьмем два вектора в координатной форме
а= (ах, ау, аz)= axi + ayi + azk b= (bx, by, bz)= bxi + byi + b

Понятие евклидова пространства.
Опр. Линейное пространство называется евклидовым, если на нем введена операция скалярного произведения, ставящая в соответствия любым векторам х и у Є L число x × y, обладающее

Лекция 5. Векторное произведение двух векторов.
Опр. Векторным произведением a´b векторов a и b называется третий вектор с, обладающий следующими свойствами: 1° │с│=│a││b│sin φ

Векторные произведения координатных ортов.
i k

Векторное произведение в координатной форме.
a´b= (axi + ayi + azk)× (bxi + byi + bzk)= ax bx i× i + ax by i×

Смешанное произведение трех векторов.
Опр. Смешанным произведением трех векторов a, b, c, взятых в таком порядке называется число, равное (a´b) · с. По определению abc. Чтобы вычислить смешанное пр

Лекция 6. Смешанное произведение в координатной форме.
Возьмем три вектора в координатной форме а= (ах, ау, аz)= axi + ayi + azk b= (bx, by, b

Лекция 1. Плоскость в пространстве.
Опр. Любой не нулевой вектор перпендикулярный плоскости называется вектором нормали к этой плоскости. N= (A, B, C) Пусть т. М0 (x0, y0, z

Анализ общего уравнения.
1) А= 0, B, C, D ≠ 0 нет х, нормаль N= (0, B, C) скалярное произведение N· i= 0· 1+ B· 0+ C· 0= 0, N ^ i, N ^ OX, плоскость ║OX Аналогично, В=0, нет у, плоско

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Пус

Уравнение плоскости в отрезках.
Пусть плоскости отсекает на координатных осях отрезки a- оси ОХ, b- оси ОУ, с - оси OZ.

Взаимное расположение двух плоскостей.
1) Плоскость 1 с уравнением параллельно плоскости 2 с уравнением

Прямая в пространстве.
Опр. Любой ненулевой вектор параллельный прямой называется направляющим вектором этой прямой. l= (m; n; p) ║прямой S- в подобиях т. М0

Лекция 2. Общие уравнения прямой в пространстве.
Прямая может быть задана в пространстве как линия пересечения плоскостей.

Переход от одних уравнений прямой к другим.
1) От канонических к параметрическим.

Взаимное расположение прямых в пространстве.
1) Прямая 1 c l1= (m1, n1, p1) ║ прямой 2 c l2=(m2, n2, p2)  

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Возьмем в пространстве плоскость α с уравнением , N= (A, B, C) и прямую а с уравнение

Различные расстояния в пространстве.
1) Расстояние от точки до плоскости. Найдем расстояние от т. М0 (x0, y0, z0) до плоскости Ax+ By+ Cz+ D=0. Рассмотрим от точки до плоскости это

Расстояние от точки до прямой.
т. М0 (3, 1, -1), прямая

Лекция 3. Прямая на плоскости.
Аналогично тому, как выводились канонические уравнения от прямой в пространстве выводятся канонические уравнения прямой на плоскости.

Взаимное расположение прямых на плоскости.
  Каноническое уравнение Общее уравн

Окружность.
Опр. Окружностью называют множество точек плоскости, удаленных от заданной точки (центра окружности) на заданное расстояние (радиус окружности). Пусть центр окружности С (а, b) и ра

Эллипс.
Опр. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (радиусов), есть величина постоянная равная 2а большая, чем расстояние между

Гипербола.
Опр. Гиперболой называют множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная равная 2а, меньшая, чем расстояние межд

Парабола.
Опр. Параболой называют множество точек плоскости, расстояние от каждой из которых до заданной точки (фокуса) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы). Расположим параболу т

Сфера в пространстве.
Опр. Сферой называют множество точек пространства равноудаленных от заданной точки (центра сферы) на заданное расстояние (радиус сферы). Пусть центр сферы С (a, b, c), радиус R, т.