Теория погрешностей и машинная арифметика. - раздел Математика, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
Пусть ...
Пусть - точное значение, - приближенное значение некоторой величины.
Абсолютной погрешностью приближенного значения называется величина .
Относительной погрешностью значения (при 0) называется величина .
Так как, значение как правило неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида:
.
Величины и называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.
ПРИМЕР 1. Абсолютная и относительная погрешности приближенного числа e.
Число e - трансцендентное число, представляется бесконечной непериодической дробью e = 2.71828. Приближенное значение числа e* = 2.7. Граница абсолютной погрешности | e - e* | < 0.019, относительная погрешность числа.
,
Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.
ПРИМЕР 2. Значащие цифры числа.
Значащие цифры чисел подчеркнуты: 0.03589, 10.4920, 0.00456200.
Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.
ПРИМЕР 3. Верные цифры числа.
Верные цифры числа a = 356.78245 подчеркнуты.
Если , то верных цифр в числе 5: a = 356.78245.
Если , то верных цифр в числе 4: a = 356.78245.
Если , то верных цифр в числе 7: a = 356.78245.
Если , то верных цифр в числе 8: a = 356.78245.
Для оценки погрешностей арифметических операций следует использовать следующие утверждения:
абсолютная погрешность алгебраической суммы (суммы или разности) не превосходит суммы абсолютной погрешности слагаемых, т.е.
Если а и b - ненулевые числа одного знака, то справедливы неравенства
,
,
где:
,
Для относительных погрешностей произведения и частного приближенных чисел верны оценки:
если и , то
, .
ПРИМЕР 4. Погрешности арифметических действий.
Пусть числа x и y заданы с абсолютными погрешностями x и y
x: = 2.5378;x: = 0.0001
y: = 2.536;y: = 0.001
Тогда относительные погрешности чисел:
, x = 3.94 x 10-5
, y = 3.94 x 10-4
Найдем погрешности суммы и разности чисел:
S1: = x + y; S1 : = x + y;
S1 = 5.0738; S1 = 1.1 x 10-3; S1 = 2.17 x 10-4
S2: = x – y;S2 : = x + y;
S2 = 1.8 x 10-3; S2 = 1.1 x 10-3; S2 = 0.61
Относительная погрешность разности в 2000 раз больше относительной погрешности суммы!
Возьмем теперь другие значения x и y и вычислим погрешности произведения и частного
x: = 2.5378; x: = 0.0001; y: = 0.006; y: = 0.001
Тогда относительные погрешности чисел:
;
S3 = 0.015227; S4 = 422.966667
S3: = x + y; S4 : = x + y
S3: = |S3| x S3;S4 : = |S4| x S4
S3 = 6.604259 x 10-6;S4 = 0.183452
Абсолютная погрешность частного в 20000 раз больше абсолютной погрешности произведения!
Пусть - дифференцируемая в области G функция переменных, вычисление которой производится при приближенно заданных значениях аргументов . Тогда для абсолютной погрешности функции справедлива следующая оценка . Здесь [x, x*] v отрезок, соединяющий точки x и x* =( )
Для относительной погрешности функции справедливо следующее приближенное равенство , где .
ПРИМЕР 5. Погрешность вычисления функции.
Погрешность функции многих переменных
Пусть x: = -3.59; y : = 0.467 z : = 563.2.
По приведенным начальным условиям считаем, что погрешности равны
x: = 0.01; y: = 0.001; z: = 0.1
Значение функции равно f (x, y, z) = 6.64198865
f (x, y, z) = 8.196 x 10 -3
f (x, y, z) = 1.234 x 10 -3
Задание для самостоятельной работы.
1. Выполнить округление приближенных чисел и записать результат с учетом верных цифр:
a = - 0.5689176, a = 0.005
b = 1.386222, b = 0.02
2. Высота и радиус основания цилиндра измерены с точностью до 0.5%, какова относительная погрешность при вычислении объема цилиндра?
3. Указать правила оценки абсолютных и относительных погрешностей функций: a x и x a .
Вопросы
1. Сформулируйте правила округления приближенных чисел: по дополнению и усечением.
2. Сформулируйте определение верной цифры числа. Приведите примеры.
3. Докажите утверждение об оценке абсолютной погрешности суммы и разности двух чисел.
4. На основании формулы вычисления погрешности функции многих переменных сформулируйте правило вычисления абсолютной и относительной погрешностей функции одной переменной.
5. На основании формулы вычисления погрешности функции многих переменных выведите формулу для оценки абсолютной погрешности неявной функции.
C А СИНЮТИН... ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА... УДК A...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Теория погрешностей и машинная арифметика.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Ввод матриц
Вы можете вводить матрицы в MATLAB несколькими способами:
• вводить полный список элементов;
• загружать матрицы из внешних файлов;
• генерировать матрицы, используя встр
Индексы
Элемент в строке i и столбце j матрицы А обозначается A(i,j). Например, А(4,2) - это число в четвертой строке и втором столбце. Таким образом, можно вычислить сумму элементов в четвертом столбце м
Функции
MATLAB предоставляет большое количество элементарных математических функций, таких как abs, sqrt, exp, sin. Вычисление квадратного корня или логарифма отрицательного числа не является ошибко
Редактор командной строки
Различные стрелки и управляющие клавиши на вашей клавиатуре позволяют вам вызывать, редактировать и многократно использовать команды, набранные ранее. Например, предположим, что вы допустили ошибку
Создание графика
Функция plot имеет различные формы, связанные с входными параметрами, например plot(y) создает кусочно-линейный график зависимости элементов у от их индексов. Если вы задаете два вект
Управление осями
Функция axis имеет несколько возможностей для настройки масштаба, ориентации и коэффициента сжатия.
Обычно MATLAB находит максимальное и минимальное значение и выбирает соответствую
Печать графики
Опция Printв меню Fileи команда print печатают графику MATLAB. Меню Printвызывает диалоговое окно, которое позволяет выбирать общие стандар
Команда help
Команда help – это самый основной способ определения синтаксиса и поведения отдельных функций. Информация отображается прямо в командном окне. Например,
help magic
Сценарии и функции
MATLAB - это мощный язык программирования, также как и интерактивная вычислительная среда. Файлы, которые содержат код на языке MATLAB, называются М-файлами. Вы создаете М-файлы, используя текстово
Сценарии
Когда вы вызываете сценарий, MATLAB просто вызывает команды, содержащиеся в файле. Сценарии могут оперировать существующими данными в рабочем пространстве или они могут сами создавать эти данные. Х
Функции
Функции - это М-файлы, которые могут иметь входные и выходные возвращать. Имя М-файла и функции должно быть одним и тем же. Функции работают с переменными в пределах их собственного рабочего простр
Локализация корней
ПРИМЕР 1. Локализация корней (рис. 4.1).
% Локализовать корни уравнения f(x)=0, где f(x)= x^3 - cos(x) + 1
% Введём функцию f(x)
f = inline('x.^3 - cos(x)
Метод бисекции
Пусть[a,b] v отрезок локализации. Предположим, что функция f(x) непрерывна на [a,b] и на концах принимает значения разных знаков .
Метод Ньютона (метод касательных)
Расчетная формула метода Ньютона имеет вид:
. Геометрически метод Ньютона означает, что следующее приближение к кор
Обусловленность задачи нахождения корня.
Пусть v корень, подлежащий определению. Будем считать, что входными данными для задачи вычисления корня являются значения функции
Методика решения алгебраического уравнения
Мы остановимся здесь подробнее на методике решения алгебраического уравнения, т.е. уравнения вида: , левую часть которого будем обозначать т
Нормы векторов и матриц
Обозначим через - точное решение системы, а через - приближенное решение системы. Д
Обусловленность задачи
Так же как и другие задачи, задача вычисления решения системы может быть как хорошо обусловленной, так и плохо обусловленной.
Теорема об оценке погрешности решения по погрешностям входн
Метод Гаусса
Рассмотрим метод Гаусса (схему единственного деления) решения системы уравнений. Прямой ход состоит из m-1 шагов исключения.
1. Шаг. Исключим неизвестное
LU разложение матрицы
Представим матрицу A в виде произведения нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной U.
Введем в рассмотрение матрицы
Метод Холецкого
Если матрица системы является симметричной и положительно определенной, то для решения системы применяют метод Холецкого (метод квадратных корней). В основе метода лежит алгоритм специального LU
Метод прогонки
Если матрица системы является разреженной, то есть содержит большое число нулевых элементов, то применяют еще одну модификацию метода Гаусса - метод прогонки. Рассмотрим систему уравнений с трехдиа
Метод Якоби
Самый простой способ приведения системы к виду удобному для итерации состоит в следующем: из первого уравнения системы выразим неизвестное x1, из второго уравнения системы выраз
Метод Зейделя
Метод можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея состоит в том, что при вычислении очередного (n+1)-го приближения к неизвестному xi при i >1 используют
Метод простой итерации.
Если A - симметричная и положительно определенная матрица, то систему уравнений часто приводят к эквивалентному виду: x = x -
Интерполяция сплайнами
Пусть отрезок [a,b] разбит точками на n частичных отрезков . Сплайном степени m называется функция
Первая производная. Двухточечные методы
Для двухточечных методов при вычислении производных используется значение функции в двух точках. Приращение аргумента задается тремя способами, откладывая Δx = h вправо, влево и в обе стороны
Вычисление производных второго порядка
Вторая производная вычисляется как первая производная от первой производной. Для следующей пятиточечной схемы (рис. 11.2):
Вычисление производных третьего порядка
Производные третьего порядка вычисляются как первая производная от производной второго порядка. Для рассмотренной пятиточечной схемы расчетная формула имеет вид:
Численное интегрирование
Определенным интегралом функции f(x), взятом в интервале от a до b, называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремл
Оценка погрешности метода Эйлера
Локальной погрешностью метода называется величина . Найдем величину локальной погрешности метода Эйлера:
Модификации метода Эйлера
Метод Эйлера обладает медленной сходимостью, поэтому чаще применяют методы более высокого порядка точности. Второй порядок точности по имеет
Новости и инфо для студентов