Интерполяция сплайнами - раздел Математика, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА Пусть Отрезок [A,b] Разбит Точками На N Частичных Отрезков ...
Пусть отрезок [a,b] разбит точками на n частичных отрезков . Сплайном степени m называется функция , обладающая следующими свойствами:
1) функция непрерывна на отрезке [a,b] вместе со своими производными до некоторого порядка p;
2) на каждом частичном отрезке функция совпадает с некоторым алгебраическим многочленом степени m.
Разность m-p между степенью сплайна и наивысшим порядком непрерывной на отрезке [a ,b] производной называют дефектом сплайна. Кусочно-линейная функция является сплайном первой степени с дефектом, равным единице. Действительно, на отрезке [a ,b] сама функция (нулевая производная) непрерывна. В то же время на каждом частичном отрезке совпадает с некоторым многочленом первой степени.
ПРИМЕР 3. Построение параболического сплайна.
Пусть дан фрагмент таблицы значений функции:
x
-1
y
1.5
0.5
2.5
Требуется построить параболический сплайн дефекта 1.
Так как строится сплайн , то он будет представлен двумя полиномами 2-ой степени:
.
Функция должна удовлетворять условиям:
- это есть условие интерполяции;
- это есть условие непрерывности первой производной.
Таким образом, получили 5 условий для нахождения 6-сти неизвестных. Два условия дополнительно накладывают на сплайн в граничных точках.
Возьмем, например дополнительное граничное условие следующего вида .
Тогда получим систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов :
Эта система легко решается:
, , , , , .
Таким образом:
.
Наиболее широкое распространение получили сплайны 3 степени (кубические сплайны) с дефектом равным 1 или 2. Система для осуществления сплайн-интерполяции кубическими полиномами предусматривает несколько встроенных функций. Одна из них рассмотрена в примере.
ПРИМЕР 4 . Построение сплайн-интерполяции (рис. 10.4).
% Построить интерполяцию сплайнами функции Рунге
% Введём функцию Рунге
f = inline('1./(1+25*x.^2)');
% Вычислим таблицу значений
x = linspace(-1, 1, 10);
y = f(x);
% Вычислим сплайн-интерполяцию
xx = linspace(-1, 1, 100);
yy = spline(x, y, xx);
% Начертим графики
axes('NextPlot', 'Add');
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
% Красным на графике - аппроксимация, жирным - исходная функция.
plot(xx, yy, 'Color', 'r');
Рис. 10.4 - построение сплайн-интерполяции
Погрешность приближения кубическими сплайнами.
Пусть функция f имеет на отрезке [a,b] непрерывную производную четвертого порядка и .
Тогда для интерполяционного кубического сплайна справедлива оценка погрешности: .
Задание для самостоятельной работы
1. Функция y = f(x) задана таблицей своих значений.
X
0.2
0.4
0.6
0.8
Y
0.75
1.1
1.35
1.25
1.05
0.8
Предложить способы интерполирования для нахождения значений функции в точках 0.24, 0.5, 0.96.
2. Функция y = f(x) задана таблицей своих значений.
X
Y
Построить интерполяционный кубический сплайн с граничными условиями , .
3. Проинтерполировать функцию задачи 2 методом кусочно-линейной интерполяции и построить график исходной функции и найденных многочленов.
Вопросы
1. Объясните разницу между глобальной и кусочно-полиномиальной интерполяцией. Почему на практике чаще используется кусочно-полиномиальная интерполяция.
2. Дайте определение интерполяционного сплайна m-ой степени.
3. Что такое дефект сплайна.
4. Запишите формулу сплайна первой степени с дефектом единица.
C А СИНЮТИН... ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА... УДК A...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Интерполяция сплайнами
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Ввод матриц
Вы можете вводить матрицы в MATLAB несколькими способами:
• вводить полный список элементов;
• загружать матрицы из внешних файлов;
• генерировать матрицы, используя встр
Индексы
Элемент в строке i и столбце j матрицы А обозначается A(i,j). Например, А(4,2) - это число в четвертой строке и втором столбце. Таким образом, можно вычислить сумму элементов в четвертом столбце м
Функции
MATLAB предоставляет большое количество элементарных математических функций, таких как abs, sqrt, exp, sin. Вычисление квадратного корня или логарифма отрицательного числа не является ошибко
Редактор командной строки
Различные стрелки и управляющие клавиши на вашей клавиатуре позволяют вам вызывать, редактировать и многократно использовать команды, набранные ранее. Например, предположим, что вы допустили ошибку
Создание графика
Функция plot имеет различные формы, связанные с входными параметрами, например plot(y) создает кусочно-линейный график зависимости элементов у от их индексов. Если вы задаете два вект
Управление осями
Функция axis имеет несколько возможностей для настройки масштаба, ориентации и коэффициента сжатия.
Обычно MATLAB находит максимальное и минимальное значение и выбирает соответствую
Печать графики
Опция Printв меню Fileи команда print печатают графику MATLAB. Меню Printвызывает диалоговое окно, которое позволяет выбирать общие стандар
Команда help
Команда help – это самый основной способ определения синтаксиса и поведения отдельных функций. Информация отображается прямо в командном окне. Например,
help magic
Сценарии и функции
MATLAB - это мощный язык программирования, также как и интерактивная вычислительная среда. Файлы, которые содержат код на языке MATLAB, называются М-файлами. Вы создаете М-файлы, используя текстово
Сценарии
Когда вы вызываете сценарий, MATLAB просто вызывает команды, содержащиеся в файле. Сценарии могут оперировать существующими данными в рабочем пространстве или они могут сами создавать эти данные. Х
Функции
Функции - это М-файлы, которые могут иметь входные и выходные возвращать. Имя М-файла и функции должно быть одним и тем же. Функции работают с переменными в пределах их собственного рабочего простр
Обусловленность задачи нахождения корня.
Пусть v корень, подлежащий определению. Будем считать, что входными данными для задачи вычисления корня являются значения функции
Методика решения алгебраического уравнения
Мы остановимся здесь подробнее на методике решения алгебраического уравнения, т.е. уравнения вида: , левую часть которого будем обозначать т
Нормы векторов и матриц
Обозначим через - точное решение системы, а через - приближенное решение системы. Д
Обусловленность задачи
Так же как и другие задачи, задача вычисления решения системы может быть как хорошо обусловленной, так и плохо обусловленной.
Теорема об оценке погрешности решения по погрешностям входн
Метод Гаусса
Рассмотрим метод Гаусса (схему единственного деления) решения системы уравнений. Прямой ход состоит из m-1 шагов исключения.
1. Шаг. Исключим неизвестное
LU разложение матрицы
Представим матрицу A в виде произведения нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной U.
Введем в рассмотрение матрицы
Метод Холецкого
Если матрица системы является симметричной и положительно определенной, то для решения системы применяют метод Холецкого (метод квадратных корней). В основе метода лежит алгоритм специального LU
Метод прогонки
Если матрица системы является разреженной, то есть содержит большое число нулевых элементов, то применяют еще одну модификацию метода Гаусса - метод прогонки. Рассмотрим систему уравнений с трехдиа
Метод Якоби
Самый простой способ приведения системы к виду удобному для итерации состоит в следующем: из первого уравнения системы выразим неизвестное x1, из второго уравнения системы выраз
Метод Зейделя
Метод можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея состоит в том, что при вычислении очередного (n+1)-го приближения к неизвестному xi при i >1 используют
Метод простой итерации.
Если A - симметричная и положительно определенная матрица, то систему уравнений часто приводят к эквивалентному виду: x = x -
Первая производная. Двухточечные методы
Для двухточечных методов при вычислении производных используется значение функции в двух точках. Приращение аргумента задается тремя способами, откладывая Δx = h вправо, влево и в обе стороны
Вычисление производных второго порядка
Вторая производная вычисляется как первая производная от первой производной. Для следующей пятиточечной схемы (рис. 11.2):
Вычисление производных третьего порядка
Производные третьего порядка вычисляются как первая производная от производной второго порядка. Для рассмотренной пятиточечной схемы расчетная формула имеет вид:
Численное интегрирование
Определенным интегралом функции f(x), взятом в интервале от a до b, называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремл
Оценка погрешности метода Эйлера
Локальной погрешностью метода называется величина . Найдем величину локальной погрешности метода Эйлера:
Модификации метода Эйлера
Метод Эйлера обладает медленной сходимостью, поэтому чаще применяют методы более высокого порядка точности. Второй порядок точности по имеет
Новости и инфо для студентов