Реферат Курсовая Конспект
Плоскость в пространстве - раздел Математика, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Основные Типы Уравнений Плоскости ...
|
Основные типы уравнений плоскости
Векторно-параметрическое уравнение плоскости:
. (9)
Общее уравнение плоскости:
Ax+By+Cz+D=0. (10)
Нормальное уравнение плоскости:
x cos+y cos+z cos-p = 0, (11)
где – координаты вектора единичной длины, перпендикулярного к плоскости.
Уравнение в отрезках на осях имеет вид .
Примечание: Уравнения (11) и уравнение в отрезках на осях являются частными разновидностями уравнения (10).
Основные определения
Пучком плоскостей в пространстве назовем совокупность плоскостей, проходящих через фиксированную прямую, либо попарно параллельных.
Связкой плоскостей в пространстве назовем совокупность плоскостей в пространстве, проходящих через фиксированную точку.
Пусть плоскость p параллельна двум неколлинеарным векторам и и проходит через точку с радиус-вектором . Тогда уравнение плоскости имеет вид
,
где – радиус-вектор текущей точки плоскости, u, v – числовые параметры, принимающие действительные значения.
Если плоскость p параллельна двум неколлинеарным векторам и и проходит через точку М(х0, у0, z0), то координатно-параметрические уравнения этой плоскости имеют вид
где .
Общее уравнение плоскости имеет вид
Ах + By + Cz + D = 0,
где A2+B2+C2=0.
Если плоскость p перпендикулярна ненулевому вектору и проходит через точку, радиус-вектор которой , то уравнение этой плоскости можно представить в виде
,
где – радиус-вектор текущей точки плоскости p.
Если система координат в пространстве прямоугольная, р – расстояние от начала координат до плоскости p и a, b, g – углы между лучом, проведенным от начала координат перпендикулярно к плоскости p, и осями координат OX, OY, OZ соответственно, то общее уравнение плоскости может быть записано в виде
.
Если плоскость p проходит параллельно двум неколлинеарным векторам и – через точку, радиус-вектор которой , то уравнение плоскости p с помощью смешанного произведения векторов можно задать в виде
Если плоскость p пересекает оси OX,OY,OZ в точках (а, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с) соответственно и , то общее уравнение прямой можно записать в виде
Если в пространстве заданы точки A(x0, y0, z0), B(x1,y1, z1), C(x2, y2, z2), не лежащие на одной прямой, то уравнение плоскости, проходящей через эти три точки, можно записать в виде
.
Если плоскость p задана общим уравнением Ах+By+Cz+D=0, то необходимым и достаточным условием параллельности плоскости p и вектора будет следующее:
Al+Bm+Cn=0.
Плоскости p1 и p2, задаваемые уравнениями A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 соответственно, будут параллельны тогда и только тогда, когда существует l такое, что A1=lA2, B1=lB2, C1=lC2.
Если и D1=lD2, то p1 и p2 совпадают.
Пусть две плоскости (и ) принадлежат одному пучку. Тогда любая плоскость этого пучка задается уравнением
.
Если плоскость p задана в прямоугольных координатах уравнением Ax+By+Cz+D=0, то вектор перпендикулярен к плоскости p.
Примечание. Аналогичное утверждение нетрудно сформулировать относительно взаимного расположения двух точек и плоскости в пространстве.
Пусть в прямоугольной системе координат заданы уравнения плоскостей p1 и p2: и . Тогда наименьший из углов между плоскостями p1 и p2 можно определить из формулы
.
Пусть в прямоугольной системе координат задан вектор и плоскость p : Ax+By+Cz+D=0. Тогда угол a между вектором и плоскостью p удовлетворяет уравнению
.
Задача 74. Точка лежит в плоскости , вектор имеет координаты . Доказать, что точка лежит в положительном полупространстве относительно данной плоскости.
Задача 75. 1) Зная параметрические уравнения плоскости:
, составить ее общее уравнение.
2) Зная общее уравнение плоскости , составить ее параметрические уравнения.
Задача 76. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной плоскости:
1)
2)
3)
4)
5) .
Задача 77. Составить уравнения плоскостей, проходящих через точку и равноудаленных от трех точек и .
Задача 78. В пучке, определяемом плоскостями и
найти две перпендикулярные друг другу плоскости, одна из которых проходит через точку
Задача 79 (с решением). В прямоугольной системе координат заданы плоскости πи π
x-2y+z+4=0, 2x+y–z–7=0.
Найти уравнение биссекторной плоскости π того двугранного угла, образованного ππ, которому принадлежит точка (1,1,1).
Решение. Искомую плоскость π образуют те точки M(x,y,z), которые равноудалены от πи πи лежат в одном с точкой Mквадранте,
|
образованном плоскостями πи π. Расстояниеиот точки M(x,y,z) до плоскостей πи πнаходятся по формулам
ρ=
но точки М0 и M одинаково расположены относительно плоскостей πи π2, поэтому
Следовательно,
ρ=, ρ=
и из условия ρ= ρполучаем
3x-y-3=0.
Задача 80. Найти угол между плоскостями:
1) и
2) и
Задача 81. Составить уравнение биссекторной плоскости того двугранного угла между плоскостями и внутри которого лежит точка
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Федеральное государственное образовательное учреждение... Высшего профессионального образования... Сибирский федеральный университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Плоскость в пространстве
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов