МАТЕМАТИКА

Вятский государственный гуманитарный университет

 

 

П. М. Горев

М. О. Воловицкая

 

 

МАТЕМАТИКА
КУРС ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ

 

средний уровень сложности

 

Учебное пособие

 

 

 

Киров

2012

 

УДК 51(075.8)

ББК 74.262.21я72

Г68

 

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета
Вятского государственного гуманитарного университета

 

 

Рецензенты:

доктор педагогических наук, доцент С. И. Калинин;

кандидат педагогических наук, доцент М. В. Крутихина;
кандидат педагогических наук, доцент И. В. Ситникова;

учитель математики
высшей квалификационной категории Е. И. Шехирева

 

 

Г68 Горев, П. М.Математика. Курс подготовки к ЕГЭ. Средний уровень сложности: учебное пособие / П. М. Горев, М. О. Воловицкая. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2012. – 130 с.

 

ISBN 978-5-456-00133-7

 

Учебный курс, представленный в пособии, в основном посвящен решению заданий первой части (задач типа В) Единого государственного экзамена по математике. Курс состоит из 32 последовательных занятий, каждое из которых рассчитано на 2 академических часа, и предназначен для целенаправленной подготовки учащихся к решению задач первой части ЕГЭ.

Курс был апробирован в малых группах абитуриентов ВятГГУ в 2010 –2012 годах.

Пособие может быть интересно абитуриентам и выпускникам средних школ, их учителям и наставникам, обеспечивающим качественную подготовку к ЕГЭ.

 

УДК 51(075.8)

ББК 74.262.21я72

 

ISBN 978-5-456-00133-7 © Вятский государственный гуманитарный университет (ВятГГУ), 2012

© Горев П. М., Воловицкая М. О., 2012

Предисловие

 

 

У вас в руках учебное пособие, которое мы назвали «Математика. Курс подготовки к ЕГЭ». Это второе, исправленное и дополненное, издание проводимого авторами курса подготовки к ЕГЭ по математике. Оно состоит из двух основных разделов и направлено на обучение решению задач первой части ЕГЭ как на уроках, так и на занятиях спецкурса, электива, факультатива в традиционных и малых группах или индивидуально.

Первый раздел – справочник по математике – содержит сведения практически из всех разделов элементарной математики, необходимых для решения задач первой части. Включение справочных материалов в книгу обусловлено в первую очередь необходимостью собрать данные в одном месте для обеспечения быстрого доступа к нужной информации, что немаловажно в рамках подготовки к тестовым заданиям, где решающим оказывается правильное выполнение максимального числа заданий за короткий период времени.

Во втором разделе пособия содержатся задания к 32 занятиям (по два аудиторных часа каждое), последовательно излагающим содержание материала по следующим темам: текстовые задачи (ориентировано на усвоение заданий В1, В4, В12, В13); планиметрия (В3, В6); тригонометрия (В5, В6, В7, В14); корни, степени, логарифмы (В5, В7, В14); функции, производная (В2, В8, В14); уравнения и неравенства (В5, В12, В13); стереометрия (В9, В11); комбинаторика и вероятность (В10). Тем самым мы охватили все задачи первой части ЕГЭ; задания каждого занятия приведены в двух вариантах – для совместной или индивидуальной работы в классе и самостоятельных работ. Ко всем заданиям приведены ответы, в конце пособия приводится библиографический список использованных источников задачного материала.

Надеемся, что сведения, которые мы собрали под обложкой этой книги, сыграют свою положительную роль в подготовке и успешной сдаче Единого государственного экзамена по математике.

Желаем успеха!

Раздел первый

Краткий справочник по математике

 

Сведения, включенные в справочник, незначительно расширены по сравнению с тем, что предлагают типовые учебники математики для средних школ. Возможно, некоторые школьники найдут новую для себя информацию или более удобные формулы для решения задач. Советуем не пренебрегать работой с этой частью книги.

Для организации самостоятельной работы со справочником рекомендуем придерживаться следующего плана:

1) просмотрите справочник, около каждой формулы (или блока сведений) поставьте кружочек определенного цвета:

· синий – формулу знаю наизусть, могу вспомнить в любой момент;

· зеленый – формулу знаю, но часто забываю о ее существовании;

· красный – новая для меня формула;

2) обведите в рамки формулы, выделенные зеленым кружочком, – это позволит при дальнейшей работе со справочником отделять эти формулы от другого текста, что обеспечит лучшее их запоминание;

3) выпишите на чистый листок формулы, выделенные красным кружочком; при решении задач листок держите в поле зрения и постоянно обращайтесь к нему;

4) запоминайте формулы, для этого

· постарайтесь разобраться, почему верна формула (используйте для этого учебники математики или иные пособия);

· отыщите задания, в которых используется формула, решите их;

· постарайтесь составить задачи на использование формулы, решите их.

5) для расширения сведений используйте энциклопедии и справочники по математике, например, такие:

· Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике,

· Гусев В. А., Мордкович А. Г. Справочник по математике,

· Алгебра в таблицах / Авт.-сост. Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский,

· Геометрия в таблицах / Авт.-сост. Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский,

или любые другие, доступные вам.

Алгебра

Модуль действительного числа

Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательно, и противоположное ему число, если оно отрицательно:

 

Выделим несколько основных свойств модуля, полезных при решении различных алгебраических и геометрических задач:

· ,

· ,

· ,

· ,

· ,

· .

Степени и корни

, , . Полезно знать и использовать при преобразовании выражений основные свойства… · ,

Логарифмы

Логарифмом положительного числа по основанию называется показатель степени , в которую нужно возвести , чтобы получить : .

Из определения следует основное логарифмическое тождество:

.

Для положительных чисел и имеют место следующие основные свойства логарифмов:

· ,

· ,

· ,

· ,

· ,

· ,

· ,

· .

Многочлены

· – разность квадратов, · – квадрат суммы (разности), · – сумма (разность) кубов,

Квадратный трехчлен, квадратное уравнение

Число называется дискриминантом квадратного трехчлена и определяет количество корней квадратного уравнения: · если , то уравнение имеет два различных корня: , ;

Прогрессии

Для нахождения члена прогрессии используют формулы : · , · ,

Тригонометрия

Тригонометрическая окружность

Тригонометрическую окружность используют при нахождении значений тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, решении простейших… … Тождества связи функций одного аргумента[1]

Формулы сложения аргументов

· ,

· ,

· ,

· .

Формулы кратных аргументов

· ,

· ,

· ,

· ,

· ,

· ,

· ,

· ,

· ,

· ,

· ,

· ,

· ,

· ,

· ,

· .

Формулы преобразования суммы в произведение

· ,

· ,

· ,

· ,

· ,

· .

Формулы преобразования произведения в сумму

· ,

· ,

· .

Универсальная тригонометрическая подстановка

Часто при рассмотрении тригонометрических уравнений и неравенств бывает удобным сводить их к решению дробно-рациональных уравнений и неравенств с помощью универсальной тригонометрической подстановки . Тогда , , .

Введение вспомогательного угла

Для преобразования выражений вида используют так называемый метод введения вспомогательного угла

,

основываясь на формулах:

· ,

· .

Основные соотношения для обратных функций

При преобразовании выражений с обратными тригонометрическими функциями бывает полезно использовать формулы ( ):

· ,

· ,

· ,

· ,

· ,

· ,

· ,

· .

Простейшие тригонометрические уравнения

При рассмотрении тригонометрических уравнений тем или иным способом решение сводят к простейшим уравнениям, которые в общем случае решаются по формулам:

· , ,

, ,

,

· , ,

· , ,

· , .

 

Начала математического анализа

Основные элементарные функции и их графики

Функция , где и – некоторые действительные числа, а – переменная, называется линейной. x … x y b …

Основные приемы преобразования графиков

y f(x) x … y f(x) … y x …

Производная функции

– производная суммы равна сумме производных; · – производная частного; · – производная сложной функции равна произведению производной внутренней функции на производную внешней.

Ответы

1,25	– 2	– 0,25	0,5
– 3	– 3		– 7			– 1
	1,5		– 33		– 3

Часть 2. Самостоятельная работа

403.На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

 

404.На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

 

405.На рисунке изображен график функции . Касательная к этому графику, проведенная в точке 4, проходит через начало координат. Найдите , если

.

428.Найдите целые точки экстремума функции

.

Ответы

				– 27	– 2; 2

Часть 2. Самостоятельная работа

429.Найдите экстремумы функции .

430.Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

431.Найдите точки максимума функции

.

432.Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

433.Найдите точку минимума функции , принадлежащую промежутку .

434.Найдите точку максимума функции .

435.Найдите значение функции в точке максимума:

.

436.Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

437.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

на промежутке .

438.Найдите наибольшее значение функции .

Занятие 20

Часть 1. Аудиторная работа

  440.На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за…  

Ответы

– 7					0,75	– 0,75		-2
	– 4,5		– 10		1,25		– 1	– 6

Часть 2. Самостоятельная работа

458.На графике показано изменение температуры воздуха в некотором населенном пункте на протяжении трех суток, начиная с 0 часов субботы. На оси…   459.Найдите корень уравнения .

Уравнения и неравенства

Занятие 21

Часть 1. Аудиторная работа

469.Определите значение переменной , если известно, что сумма чисел и равна 2. 470.Определите число корней уравнения . 471.Найдите произведение всех корней уравнения

Ответы

	– 1		– 18		0,8
	­– 1	– 81	– 4

Часть 2. Самостоятельная работа

480.Найдите сумму корней уравнения .

481.Решите уравнение .

482.Решите уравнение .

483.Решите уравнение .

484.Найдите все значения переменной , при которых числа и равны. Если таких значений несколько, в ответ запишите их сумму.

485.Решите уравнение .

486.Найдите абсциссу той точки, в которой прямая пересекает график функции .

487.Найдите наименьший целый корень уравнения

.

Занятие 22

Часть 1. Аудиторная работа

489.Определите количество корней уравнения , принадлежащих отрезку . 490.Найдите сумму корней уравнения , принадлежащих отрезку . 491.Определите количество корней уравнения , принадлежащих отрезку .

Ответы

0,5				– 30	0,5

Часть 2. Самостоятельная работа

500.Определите количество корней уравнения , принадлежащих интервалу .

501.Найдите разность наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения .

502.Найдите сумму корней уравнения , принадлежащих отрезку .

503.Решите уравнение . В ответ запишите величину наименьшего положительного корня уравнения в градусах.

504.Решите уравнение .

505.Решите уравнение .

506.Решите уравнение .

507.Найдите сумму корней уравнения .

Занятие 23

Часть 1. Аудиторная работа

508.Сколько целых решений имеет неравенство ?

509.Найдите наибольшее целое решение неравенства

.

510.Найдите наименьшее значение , при котором график функции
лежит не выше прямой .

511.Найдите число целых решений неравенства

.

512.Найдите наименьшее решение неравенства .

513.Найдите наименьшее целое решение неравенства

.

514.Найдите наибольшее целое , при котором значение функции больше значения функции .

515.Найдите число целых решений неравенства .

516.Найдите наибольшее целое отрицательное решение неравенства

.

517.Найдите наибольшее целое решение неравенства .

518.Найдите количество целых решений неравенства .

519.Найдите количество целых решений неравенства .

Ответы

		– 6
– 1		– 2	– 2

Часть 2. Самостоятельная работа

520.Решите неравенство .

521.Найдите наибольшее целое , при котором выполняется неравенство .

522.Найдите наибольшее значение , при котором график функции
лежит не выше прямой .

523.При каких выполняется неравенство ?

524.Найдите наименьшее целое решение неравенства

.

525.Найдите наименьшее целое решение неравенства .

526.Найдите количество целочисленных решений неравенства

.

527.Найдите количество целочисленных решений неравенства

.

Занятие 24

Часть 1. Аудиторная работа

529.Решите уравнение . 530.Найдите все значения , при которых произведение чисел и равно 0.… 531.Найдите абсциссу точки пересечения графика функции с осью Ох.

Ответы

0,25	– 32
0,5					– 1

Часть 2. Самостоятельная работа

541.На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются…   542.Найдите корень уравнения .

Стереометрия

Занятие 25

Часть 1. Аудиторная работа

552.Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба. 553.Диагональ куба равна 1. Найдите площадь его поверхности.

Ответы

			1,5
4,5			665,5
0,1225	0,6				0,25

Часть 2. Самостоятельная работа

  570.Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три…  

Занятие 26

Часть 1. Аудиторная работа

579.Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем цилиндра,…

Ответы

				1,5

Часть 2. Самостоятельная работа

597.В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1100 см3 воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки… 598.В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 и…  

Занятие 27

Часть 1. Аудиторная работа

606.Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины , , , параллелепипеда , у которого , , . 607.Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины , ,…  

Ответы

Часть 2. Самостоятельная работа

624.Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины , , , правильной треугольной призмы , площадь основания которой…   625.Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Занятие 28

Часть 1. Аудиторная работа

633.Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда. 634.Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины,… 635.Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности…

Ответы

Часть 2. Самостоятельная работа

651.На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали –…   652.Найдите корень уравнения .

Комбинаторика и вероятность

Занятие 29

Часть 1. Аудиторная работа

663.Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков меньше цифры единиц? 664.Из класса, в котором учится 15 девочек и 10 мальчиков, нужно выбрать одну… 665.В конференции участвовало 30 человек. Каждый участник с каждым обменялся визитной карточкой. Сколько всего…

Ответы

			2 030	3 600	1 296

Часть 2. Самостоятельная работа

681.Из класса, в котором учится 10 девочек и 13 мальчиков, нужно выбрать для дежурства по классу одну девочку и одного мальчика. Сколькими способами… 682.Семеро друзей разъехались на новогодние каникулы. Перед Новым годом каждый… 683.В коробке лежат четыре шара: два белых, красный, зеленый. Из нее вынимают два шара. Сколько существует различных…

Занятие 30

Часть 1. Аудиторная работа

691.Сколькими способами 8 отдыхающих в лагере могут встать в очередь к умывальнику? 692.Сколькими способами можно рассадить 6 рыцарей за круглый стол? 693.Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется…

Ответы

	40 320				1 320
2 730	15 504	18 564	3 003		1 960
32 509		151 200	10 000		720 720

Часть 2. Самостоятельная работа

709.В чемпионате города по хоккею играет семь команд. Сколькими способами могут распределиться три призовых места? 710.В кафе 5 сортов мороженого в стаканчиках. Наташа каждый день покупает и… 711.В коробке лежат четыре шара: белый, красный, синий, зеленый. Из нее вынимают два шара. Сколько существует способов…

Занятие 31

Часть 1. Аудиторная работа

719.В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос… 720.Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится… 721.Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий ­– кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен…

Ответы

0,25	0,995	0,93	0,25	0,5	0,008
0,5	0,14	0,03	0,384	0,001	0,005
0,26	0,98	0,5	0,3	0,001	0,25

Часть 2. Самостоятельная работа

737.В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 20 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос… 738.Фабрика выпускает сумки. В среднем на 110 качественных сумок приходится… 739.На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно…

Занятие 32

Часть 1. Аудиторная работа

747.В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найдите вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей… 748.Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном… 749.Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найдите вероятность поражения цели…

Ответы

0,02	0,17	0,56	0,7	0,18	0,384
0,005	0,2	0,002	0,07	0,5	0,001

Часть 2. Самостоятельная работа

759. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по… 760. Точки O(0, 0), A(10, 8), C(2, 6) и B являются вершинами… 761.В первом банке один доллар США можно купить за 31,1 рубля. Во втором банке 140 долларов – за 4340 рублей. В…