Достаточные признаки существования экстремума - раздел Математика, Конспект лекций по дисциплине: Элементы высшей математики Определение 1.Точка ...
Определение 1.Точка называется точкой максимума функции f , если существует такая окрестность , что для всех выполняется неравенство .
Определение 2.Точка называется точкой минимума функции f , если существует такая окрестность , что для всех выполняется неравенство .
Определение 3.Точки минимума и максимума функции f называются точками экстремума функции f . Значение функции в точке экстремума называется экстремумом функции.
Теорема 1(необходимое условие экстремума).Если точка является точкой экстремума функции f , определенной в некоторой окрестноститочки , то либо производная не существует, либо .
Доказательство.Пусть существует и f принимает в точке максимум. Заметим, что при имеем . Следовательно, если , то , а если , то . Тогда , . Так как существует , то односторонние пределы равны. Это возможно лишь в случае . Аналогично рассматривается случай минимума функции f в точке . Теорема доказана.
Определение 1.Точки, в которых производная функции f равна нулю или не существует, называются критическими точками функции f.
Следует иметь в виду, что не всякая критическая точка функции является точкой экстремума. Например, функции и возрастают на R, но имеют критическую точку .
Следующие теоремы позволяют выделять среди критических точек функции точки экстремума.
Теорема 1.(достаточное условие максимума).Пусть функция :
1) непрерывна в точке ;
2) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности ;
3) на интервале ; на интервале .
Тогда точка есть точка максимума функции f .
Доказательство.Пусть . Применим к функции f на отрезке с концами x и теорему Лагранжа, согласно которой существует такая точка c между x и , что .
В любом случае . Если , то и, следовательно, . Если же , то и . Итак, , т.е. для всех . Это и означает, что - точка максимума функции f .
Аналогично доказывается следующая теорема.
Теорема 2.(достаточное условие минимума).Пусть функция :
1) непрерывна в точке ;
2) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности ;
3) на интервале ; на интервале .
Тогда точка есть точка минимума функции f .
Отметим еще одно достаточное условие экстремума функции.
Негосударственная образовательная организация... высшего профессионального образования... некоммерческое партнерство...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Достаточные признаки существования экстремума
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Определители квадратных матриц
Определение 1.Определителем матрицы 2-го порядка (определителем 2-го порядка) называется число, которо
Свойства определителей
Позволяют существенно упростить вычисление определителя, особенно для определителей высоких порядков. При этом основной целью преобразований является получение определителя, в котором как можно бол
По элементам строки или столбца
Определение 1.Минором Mij элемента aij матрицы n-го порядка A называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы
Теорема о ранге матрицы
Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов.
Пусть дана матрица . Для
Виды систем линейных уравнений
Определение 1.Системой n линейных уравнений с n переменными называется система вида:
,
где a
Понятие о векторном пространстве и его базисе
Определение 1.Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой A и конечной точкой B (который можно перемещать параллельно самому себе).
Основные виды уравнения прямой на плоскости
Определение 1.Уравнением линии на плоскости Oxy называется уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки
Угол между прямыми
Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами y=к1х+b1 и y=к2х+b2, т.е. k1=tg
ЛЕКЦИЯ 5
Тема 5: Предел и непрерывность
ПЛАН
1. Предел последовательности при n®¥.
2. Предел функции при x®¥.
3. Предел функции в т
Предел функции в точке
Определение 1.Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x=x0, если значения функции f(x) приближаются (с
Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Среди всех последовательностей, имеющих предел, выделяют последовательности, предел которых равен 0. Последовательность называют бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если её предел
ЛЕКЦИЯ 6
Тема 5: Предел и непрерывность
Тема 6: Производная
ПЛАН
1. Второй замечательный предел, число е.
2. Свойства функций, не
Основные правила дифференцирования функций одной переменной
К правилам дифференцирования обычно относят правила, позволяющие по определенному алгоритму найти производную любой элементарной функции. Для этого достаточно знать таблицу формул производных основ
Теорема Ролля и Лагранжа и их геометрический смысл
Теоремы этого параграфа являются основным средством, с помощью которого локальное понятие производной оказывается эффективным орудием при исследовании поведения функции (как в окрестности отдельной
Правило Лопиталя
При вычислении пределов функций для раскрытия неопределенностей вида и при стремлен
Достаточные признаки монотонности функции
Для некоторых функций исследование на монотонность и экстремумы можно провести по определению или используя свойства неравенств. Однако в большинстве случаев самым эффективным средством становится
Асимптоты графика функции
Определение 1.Асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при д
Нахождение эмпирических формул
1) установление вида зависимости y=f(x) (линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая);
2) определение неизвестных параметров функции.
На
Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Очень многие задачи различных наук (математики, физики, экономики и других наук) приводят к необходимости вычисления для данной функции на некотором отрезке предела сумм специального вида. Задача о
Свойства определенного интеграла
Перечислим некоторые основные свойства определенного интеграла:
1) если функция f интегрируема на и
Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения
Теория дифференциальных уравнений возникла в конце 17 века под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным и дифференциальным исчис
С помощью степенных рядов
Разложение функций в степенные ряды с успехом применяется для решения различных задач, например:
- вычисление сумм числовых рядов;
- вычисление значений аналитических функций;
Методические указания к практическим занятиям
1 Решение задач должно быть итогом усвоения теоретического материала, при этом предварительно следует сделать анализ уже решённых задач, а затем самостоятельно решать задачи.
2. Каждый эта
МАТЕМАТИКА
Специальность: 08050062 и название специальности
Формы обучения (очная)
Тула-20011
Методичес
Новости и инфо для студентов