Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения
Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения - раздел Математика, Конспект лекций по дисциплине: Элементы высшей математики Теория Дифференциальных Уравнений Возникла В Конце 17 Века Под Влиянием Потре...
Теория дифференциальных уравнений возникла в конце 17 века под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным и дифференциальным исчислением.
Определение 1.Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида , в котором - неизвестная функция.
Определение 2.Функция называется решениям дифференциального уравнения на промежутке I , если при подстановке этой функции и ее производных дифференциальное уравнение обращается в тождество.
Решить дифференциальное уравнение - это найти все его решения.
Определение 3.График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой дифференциального уравнения.
Определение 4.Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида .
Определение 5.Уравнение вида называется дифференциальным уравнением 1-го порядка, разрешенным относительно производной.
Как правило, любое дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений. Чтобы выделить из совокупности всех решений какое-либо одно, надо наложить дополнительные условия.
Определение 6.Условие вида , накладываемое на решение дифференциального уравнения 1-го порядка, называется начальным условием, или условием Коши.
Геометрически это означает, что соответствующая интегральная кривая проходит через точку .
Определение 7.Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка на плоской области D называется однопараметрическое семейство функций , удовлетворяющее условиям:
1) для любого функция является решением уравнения;
2) для каждой точки существует такое значение параметра , что соответствующая функция является решением уравнения, удовлетворяющим начальному условию .
Определение 8.Решение, получаемое из общего решения при некотором значении параметра, называется частным решением дифференциального уравнения.
Определение 9.Особым решением дифференциального уравнения называется всякое решение, которое не может быть получено из общего решения ни при каком значении параметра.
Решение дифференциальных уравнений - очень сложная задача, и, вообще говоря, чем выше порядок уравнения, тем труднее указать способы решения уравнения. Даже для дифференциальных уравнений первого порядка удается лишь в небольшом числе частных случаев указать приемы нахождения общего решения. Более того, и в этих случаях искомое решение не всегда является элементарной функцией.
Одна из основных задач теории дифференциальных уравнений, впервые изучавшаяся О. Коши, состоит в отыскании решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.
Например, всегда ли существует решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию , и будет ли оно единственным? Вообще говоря, ответ отрицательный. В самом деле, уравнение , правая часть которого непрерывна на всей плоскости, имеет решения y=0 и y=(x+C)3 , CÎR . Следовательно, через любую точку оси Ох проходит две интегральные кривые.
Таким образом, функция должна удовлетворять некоторым требованиям. В следующей теореме содержится один из вариантов достаточных условий для существования и единственности решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .
Теорема 1.Пусть функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D на плоскости хОу, точка .
Тогда в некотором интервале, содержащем х0 , существует, и притом единственное, решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .
Определители квадратных матриц
Определение 1.Определителем матрицы 2-го порядка (определителем 2-го порядка) называется число, которо
Свойства определителей
Позволяют существенно упростить вычисление определителя, особенно для определителей высоких порядков. При этом основной целью преобразований является получение определителя, в котором как можно бол
По элементам строки или столбца
Определение 1.Минором Mij элемента aij матрицы n-го порядка A называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы
Теорема о ранге матрицы
Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов.
Пусть дана матрица . Для
Виды систем линейных уравнений
Определение 1.Системой n линейных уравнений с n переменными называется система вида:
,
где a
Понятие о векторном пространстве и его базисе
Определение 1.Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой A и конечной точкой B (который можно перемещать параллельно самому себе).
Основные виды уравнения прямой на плоскости
Определение 1.Уравнением линии на плоскости Oxy называется уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки
Угол между прямыми
Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами y=к1х+b1 и y=к2х+b2, т.е. k1=tg
ЛЕКЦИЯ 5
Тема 5: Предел и непрерывность
ПЛАН
1. Предел последовательности при n®¥.
2. Предел функции при x®¥.
3. Предел функции в т
Предел функции в точке
Определение 1.Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x=x0, если значения функции f(x) приближаются (с
Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Среди всех последовательностей, имеющих предел, выделяют последовательности, предел которых равен 0. Последовательность называют бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если её предел
ЛЕКЦИЯ 6
Тема 5: Предел и непрерывность
Тема 6: Производная
ПЛАН
1. Второй замечательный предел, число е.
2. Свойства функций, не
Основные правила дифференцирования функций одной переменной
К правилам дифференцирования обычно относят правила, позволяющие по определенному алгоритму найти производную любой элементарной функции. Для этого достаточно знать таблицу формул производных основ
Теорема Ролля и Лагранжа и их геометрический смысл
Теоремы этого параграфа являются основным средством, с помощью которого локальное понятие производной оказывается эффективным орудием при исследовании поведения функции (как в окрестности отдельной
Правило Лопиталя
При вычислении пределов функций для раскрытия неопределенностей вида и при стремлен
Достаточные признаки монотонности функции
Для некоторых функций исследование на монотонность и экстремумы можно провести по определению или используя свойства неравенств. Однако в большинстве случаев самым эффективным средством становится
Асимптоты графика функции
Определение 1.Асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при д
Нахождение эмпирических формул
1) установление вида зависимости y=f(x) (линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая);
2) определение неизвестных параметров функции.
На
Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Очень многие задачи различных наук (математики, физики, экономики и других наук) приводят к необходимости вычисления для данной функции на некотором отрезке предела сумм специального вида. Задача о
Свойства определенного интеграла
Перечислим некоторые основные свойства определенного интеграла:
1) если функция f интегрируема на и
С помощью степенных рядов
Разложение функций в степенные ряды с успехом применяется для решения различных задач, например:
- вычисление сумм числовых рядов;
- вычисление значений аналитических функций;
Методические указания к практическим занятиям
1 Решение задач должно быть итогом усвоения теоретического материала, при этом предварительно следует сделать анализ уже решённых задач, а затем самостоятельно решать задачи.
2. Каждый эта
МАТЕМАТИКА
Специальность: 08050062 и название специальности
Формы обучения (очная)
Тула-20011
Методичес
Новости и инфо для студентов