Рух в інерціальних системах відліку

8. РУХ В НЕІНЕРЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ ВІДЛІКУ 1. СИЛА ІНЕРЦІЇ В НЕІНЕРЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ ВІДЛІКУ, ЩО РУХАЮТЬСЯ ПРЯМОЛІНІЙНО. Неінерціальною системою відліку (НІСВ) називають систему відліку (СВ), що рухається з прискоренням відносно інерціальної системи відліку (ІСВ). Одержимо рівняння руху матеріальної точки відносно НІСВ. Рівняння руху – це співвідношення, якими визначаються прискорення матеріальних точок механічної системи в тій СВ, відносно якої розглядається рух. ІСВ будемо називати нерухомою СВ, а рух відносно неї – абсолютним.

Рух відносно НІСВ будемо називати відносним.НІСВ рухається відносно ІСВ з прискоренням; разом з системою рухаються і всі тіла, що в ній знаходяться; цей рух називають переносним. Положення м.т. М в нерухомій СВ визначається радіусом-вектором (початок координат СВ – т. О); в рухомій СВ положення т. М визначається радіусом-вектором (початок координат СВ – т. ). - це радіус-вектор рухомого початку відносно нерухомого О. Як і раніше, час і простір вважаємо абсолютними, оскільки мова іде про повільні рухи (v<<c), тобто відстані і проміжки часу інваріантні по відношенню до переходу від однієї СВ до іншої. Вектори в будь-який момент часу пов’язані співвідношенням: (8.1) Диференціюємо (8.1) двічі по t: (8.2) (8.3) Обмежимося спочатку розглядом лише поступального руху системи . В цьому випадку і характеризують швидкість і прискорення не лише початку , а й будь-якої точки системи відносно О, тобто - це переносні швидкість і прискорення. при поступальному русі дають відносну швидкість і відносне прискорення. завжди дають абсолютну швидкість і абсолютне прискорення т. М: , (8.4) , (8.5) причому . В ІСВ S рівнянням руху м. т. М є рівняння 2-го закону Ньютона: (8.6) Підставимо (8.5) в (8.6): ; перенесемо член, що містить переносне прискорення, в праву частину: (8.7) Ми одержали рівняння відносного руху м.т. М. Праву частину (8.7) можна формально вважати якоюсь „силою”, що діє на м. т. М в рухомій СВ. В цьому випадку рівняння руху м. т. в НІСВ за формою співпадає з ІІ законом Ньютона.

Права частина (8.7) складається з двох складових. є рівнодійна звичайних сил (в ньютонівському розумінні сила – це результат взаємодії тіл). Друга складова – ( ) виникає тому, що рухається з прискоренням . Її називають поступальною силою інерції: (8.8) Якщо не змінюється при переході від однієї СВ до іншої, то не інваріантна відносно такого переходу.

Крім того, сила інерції не підлягає дії закону рівності дії і протидії. Якщо на яке-небудь тіло діє сила інерції, то не існує протидіючої сили, що прикладена до другого тіла. Сили інерції, подібно силам тяжіння, пропорційні масі тіла. Тому в однорідному полі сил інерції, як і в полі сил тяжіння, всі тіла рухаються з одним і тим же прискоренням, незалежно від їх маси. Знаходячись в кабіні космічного корабля, який рухається поступально з прискоренням , модуль якого дорівнює g, ми виявимо, що всі тіла ведуть себе так, ніби на них діє сила . Ті ж явища ми спостерігали б, якби корабель нерухомо стояв на Землі. Не „виглядаючи” з кабіни, ми не змогли б встановити, чим зумовлена сила – прискореним рухом кабіни чи дією гравітаційного поля Землі (чи й обома причинами разом). Ейнштейн висловив припущення, яке дістало назву принципу еквівалентності сил тяжіння і сил інерції: Всі фізичні явища в однорідному полі тяжіння відбуваються так само, як і у відповідному однорідному полі сил інерції. Принцип еквівалентності лежить в основі загальної теорії відносності Ейнштейна.

Отже, в СВ, що рухається поступально з прискоренням , на всі тіла діє сила інерції , що дорівнює добутку маси тіла на прискорення СВ, взяте з протилежним знаком.

Рівняння руху м.т. в такій НІСВ має вид: (8.9) 2. НІСВ, ЩО РІВНОМІРНО ОБЕРТАЄТЬСЯ. Розглянемо тепер НІСВ , яка рівномірно обертається навколо вісі, що проходить через т. О&#8242; з кутовою швидкістю . Для спрощення вважатимемо , звідки . Рівняння (8.2) і (8.3) матимуть вид: , . Обчислимо похідні . Якщо x&#8242;, y&#8242;, z&#8242; координати т. М в , то: (8.10) . Перший доданок - це відносна швидкість м. т. М: (8.11) Другий доданок перетворимо, використавши відоме співвідношення Таким чином: (8.12) Отже: , (8.13) де . Диференціюємо (8.13) по t: ; оскільки , то . При знаходженні скористаємося тими ж міркуваннями, що і при знаходженні : (використано вираз (8.12)). Нарешті: (8.14) В (14) останній доданок (8.15) є переносним прискоренням; таке прискорення зазнає нерухома точка в CВ, що обертається. Доданок (8.16) залежить як від відносного так і від переносного руху точки.

Це прискорення дістало назву коріолісового прискорення.

Отже: (8.17) Абсолютне прискорення є векторною сумою відносного, коріолісового та переносного прискорень.

Це твердження називають теоремою Коріоліса. Обчислимо переносне прискорення.

Розкладемо вектор на дві складові: і - перпендикулярну і паралельну вісі обертання. тому За властивістю подвійного векторного добутку: , (8.18) оскільки Очевидно в даному випадку ( і ) є доцентровим прискоренням.

Підставимо тепер в (8.6) (8.17) і врахуємо (8.16) і (8.18): (8.19) До „справжніх” сил додалися дві сили інерції: коріолісова сила : (8.20) і відцентрова сила : (8.21) Коріолісова сила інерції виникає тільки тоді, коли CВ обертається, а м.т. М рухається відносно цієї системи.При і . , тому під час відносного руху вона роботи не виконує; змінює тільки за напрямком . Якщо система відліку , крім обертового руху, здійснює ще й поступальний, то і В цьому випадку переносна швидкість і переносне прискорення визначаться співвідношеннями : , а рівняння відносного руху м.т. в НІСВ має вид: (8.22).