Реферат Курсовая Конспект
ЧЕТНОСТЬ - раздел Механика, ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР Мы Получили, Что Волновые Функции Стационарных Состояний Осци...
|
Мы получили, что волновые функции стационарных состояний осциллятора являются или четными или нечетными. Оказывается, этот результат можно было предсказать заранее, не решая задачу. Сделаем в этой связи отступление, которое представляет и значительный самостоятельный интерес.
Рассмотрим преобразование пространственной инверсии системы координат
r ® r’ = -r
и введем оператор пространственной четности , действующий на волновые функции в координатном представлении по закону
Y (r) = Y (-r).
Рассмотрим теперь функцию
j(r) = (r) Y (r)
и подействуем на нее оператором :
j(r) = ,
откуда
(r) = (-r).
В частности, если гамильтониан есть четная функция r, а для этого достаточно, чтобы таковой была потенциальная энергия:
V(-r) =V(r) Þ (-r) = (r),
то из предыдущего он будет коммутировать с оператором четности:
[,] = 0,
а значит будет интегралом движения.
Докажем, что оператор описывает некоторую динамическую переменную (она называется пространственной четностью). Для этого надо доказать, что он эрмитов. Имеем:
(Y(r),Y(r)) = Y*(r) Y(r)dV =
=Y*(r) Y(-r)dVY*(-r) Y(r)dV =
={Y*(r)}* Y(r)dV=(Y,Y),
что и утверждалось. Найдем возможные значения этой наблюдаемой, т.е. собственные значения P оператора :
Yp = PYp.
Действуем еще раз оператором :
{Yp (r)} = {PYp()}.
Слева получим
{Yp(r)} = Yp (-r) = Yp(r),
а справа
{PYp(r)} = P{Yp(r)} = P{PYp(r)} = P2Yp(r).
Таким образом,
Yp(r) = P2Yp (r),
откуда
P = ± 1.
Таким образом, у оператора имеется лишь два собственных значения, которым соответствуют четные и нечетные собственные функции:
P = +1: Y+(-r) = + Y+(r),
P = -1: Y- (-r) = - Y-(r).
Эти собственные значения также называются четностью (пространственной, так как в физике элементарных частиц используют и другие четности).
Если четность есть интеграл движения, т.е.
[,] = 0,
(см. выше), то из
YE = EYE
следует
(YE) = () YE = ()YE = (YE) = (YE)
Таким образом, если YE - волновая функция стационарного состояния с энергией , то таковой будет и функция YE. Если энергетический спектр простой (невырожденный), т.е. если каждому отвечает одна (с точностью до множителя) волновая функция, то и YE должны быть пропорциональны друг другу:
YE = PYE,
а это значит, что YE есть собственная функция оператора , т.е. обладает определенной четностью.
Вывод: если гамильтониан есть четная функция координат, то он коммутирует с оператором , т.е. - интеграл движения; если к тому же энергетический спектр - простой, то каждое стационарное состояние обладает определенной четностью, т.е. его волновая функция или четна, или нечетна.
Для одномерного гармонического осциллятора все условия выполняются: потенциальная энергия четна, а энергетический спектр - простой (в одномерном случае дискретный спектр всегда простой). Поэтому волновые функции стационарных состояний осциллятора - четные или нечетные.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
СРАВНЕНИЕ КВАНТОВОГО И КЛАССИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРОВ... Вернемся к квантовому осциллятору и сравним его поведение с поведением классического осциллятора...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ЧЕТНОСТЬ
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов