рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

ЧЕТНОСТЬ

ЧЕТНОСТЬ - раздел Механика, ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР   Мы Получили, Что Волновые Функции Стационарных Состояний Осци...

 

Мы получили, что волновые функции стационарных состояний осциллятора являются или четными или нечетными. Оказывается, этот результат можно было предсказать заранее, не решая задачу. Сделаем в этой связи отступление, которое представляет и значительный самостоятельный интерес.

Рассмотрим преобразование пространственной инверсии системы координат

r ® r’ = -r

и введем оператор пространственной четности , действующий на волновые функции в координатном представлении по закону

 

Y (r) = Y (-r).

Рассмотрим теперь функцию

 

j(r) = (r) Y (r)

 

и подействуем на нее оператором :

 

j(r) = ,

 

откуда

(r) = (-r).

 

В частности, если гамильтониан есть четная функция r, а для этого достаточно, чтобы таковой была потенциальная энергия:

 

V(-r) =V(r) Þ (-r) = (r),

 

то из предыдущего он будет коммутировать с оператором четности:

 

[,] = 0,

 

а значит будет интегралом движения.

Докажем, что оператор описывает некоторую динамическую переменную (она называется пространственной четностью). Для этого надо доказать, что он эрмитов. Имеем:

 

(Y(r),Y(r)) = Y*(r) Y(r)dV =

 

=Y*(r) Y(-r)dVY*(-r) Y(r)dV =

 

={Y*(r)}* Y(r)dV=(Y,Y),

 

что и утверждалось. Найдем возможные значения этой наблюдаемой, т.е. собственные значения P оператора :

 

Yp = PYp.

 

Действуем еще раз оператором :

 

{Yp (r)} = {PYp()}.

 

Слева получим

 

{Yp(r)} = Yp (-r) = Yp(r),

 

а справа

 

{PYp(r)} = P{Yp(r)} = P{PYp(r)} = P2Yp(r).

Таким образом,

 

Yp(r) = P2Yp (r),

откуда

P = ± 1.

 

Таким образом, у оператора имеется лишь два собственных значения, которым соответствуют четные и нечетные собственные функции:

P = +1: Y+(-r) = + Y+(r),

 

P = -1: Y- (-r) = - Y-(r).

 

Эти собственные значения также называются четностью (пространственной, так как в физике элементарных частиц используют и другие четности).

Если четность есть интеграл движения, т.е.

 

[,] = 0,

 

(см. выше), то из

 

YE = EYE

следует

(YE) = () YE = ()YE = (YE) = (YE)

 

Таким образом, если YE - волновая функция стационарного состояния с энергией , то таковой будет и функция YE. Если энергетический спектр простой (невырожденный), т.е. если каждому отвечает одна (с точностью до множителя) волновая функция, то и YE должны быть пропорциональны друг другу:

 

YE = PYE,

 

а это значит, что YE есть собственная функция оператора , т.е. обладает определенной четностью.

Вывод: если гамильтониан есть четная функция координат, то он коммутирует с оператором , т.е. - интеграл движения; если к тому же энергетический спектр - простой, то каждое стационарное состояние обладает определенной четностью, т.е. его волновая функция или четна, или нечетна.

Для одномерного гармонического осциллятора все условия выполняются: потенциальная энергия четна, а энергетический спектр - простой (в одномерном случае дискретный спектр всегда простой). Поэтому волновые функции стационарных состояний осциллятора - четные или нечетные.

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

СРАВНЕНИЕ КВАНТОВОГО И КЛАССИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРОВ... Вернемся к квантовому осциллятору и сравним его поведение с поведением классического осциллятора...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ЧЕТНОСТЬ

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
  Классический осциллятор. Пусть частица совершает одномерное движение. Разложим ее потенциальную энергию в ряд Тейлора в окрестности

ДРУГОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КВАНТОВОМ ОСЦИЛЛЯТОРЕ
  Вернемся к квантовому осциллятору с гамильтонианом +1/2mw2

КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ
  Вектор основного состояния |0ñ - собственный вектор оператора с собственным значением 0:  

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги