Реферат Курсовая Конспект
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ - раздел Механика, Л Е К Ц И Я 9 ...
|
Л Е К Ц И Я 9
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ
РЕЗЮМЕ
Чистое состояние можно задавать как вектором |yñ, так и статистическим оператором (матрицей плотности).
Свойства статистического оператора :
1. Как и всякий оператор, он есть эрмитов оператор:
= .
2. Статистический оператор - положительный:
.
Действительно,
.
3. Диагональные матричные элементы его лежат в интервале (0,1):
.
Это сразу следует из того, что
án||nñ = |án|yñ|2 º |yn|2.
Справа величина неотрицательная, а сумма всех таких величин 1.
4. След статистического оператора равен 1:
Sp= 1.
Действительно,
Sp= Sp() = áy |I|yñ = áy |yñ = 1.
5. Статистический оператор чистого состояния - идемпотентный:
.
Это следует из того, что двойное проектирование ничего нового не дает.
6. Статистический оператор подчиняется уравнению
= .
Это следует из его определения и из уравнения Шредингера:
=
=
=-= .
Проведенное рассмотрение делает естественным следующее обобщение.
Основной постулат квантовой механики
Произвольное состояние квантовомеханической системы описывается статистическим оператором общего вида, т.е. некоторым эрмитовым положительным оператором с единичным следом:
= , ³ 0, Sp =1.
Физический смысл смешанных состояний, т.е. состояний, описываемых статистическими операторами общего вида, устанавливает следующее важнейшее утверждение:
Всякий статистический оператор может быть представлен как
= ,
где - статистические операторы (проекторы) чистых состояний , а - числа со свойствами
ra³0, = 1.
Доказательство основывается на математическом результате, что всякий эрмитов оператор с конечным следом (такие операторы называются ядерными) имеет чисто дискретный спектр. Ставим задачу на собственные значения
|yañ = ra |yañ,
где числа ra вещественны (= ), а векторы |yañ - ортонормированы
áya|ya’ñ = daa
и образуют базис:
=.
Умножаем обе части уравнения справа на áya|, суммируем по а и учитываем разложение единицы:
= .
Для чисел ra имеем:
ra º ra áya|yañ = áya|ra|yañ = áya||yañ ³ 0,
где использовано уравнение на собственные значения и положительность .
Наконец, вводя произвольный ортонормированный базис, найдем:
= ,
и утверждение доказано.
В основной постулат входит, разумеется, тот же способ вычисления средних значений в произвольном состоянии, что и для чистых состояний:
= Sp().
Преобразуем эту формулу:
= Sp() = Sp= ,
т.е.
= .
Отсюда проистекает великий смысл смешанных состояний. Они соответствуют ансамблю, т.е. множеству копий одной и той же системы, каждая из которых находится в каком-то квантовом состоянии ya, но не известно, в каком именно. Об этом мы можем судить лишь вероятностно, причем вероятность того, что при измерении F мы «наткнемся» на систему в состоянии ya равна как раз ra. Тогда среднее значение F в смешанном состоянии будет вычисляться как средневзвешенное отдельных средних с весами ra:
ra ³ 0, ra = 1.
Обычная терминология здесь такая. Если у статистического оператора есть хотя бы два различных собственных значения , то состояние называется смешанным. Если же у него есть только одно собственное значение (тогда оно равно 1), то состояние - чистое. Последнее естественно, ибо тогда сводится к , а мы видели, что задание - один из возможных способов описания обычных (чистых) состояний.
Если состояние смешанное, то при вычислении средних приходится проводить двоякое усреднение. Первое из них (слагаемые в последней формуле) - специфическое квантовомеханическое усреднение, от которого никуда не денешься. Оно присуще уже чистым состояниям и не имеет классического аналога. Второе усреднение (суммирование по а с весами ra) проводится по ансамблю и связано лишь с неполнотой описания. Мы с ним встретились в изначальном примере, когда искусственно выщепили одну частицу из единой двухчастичной системы. Такое усреднение не является специфическим для квантовой механики. Оно присуще уже классической физике и составляет основу любого статистического подхода. Поэтому в квантовой механике главенствующая роль принадлежит именно чистым состояниям. А смешанные состояния широко используются в квантовой статистике, а также при описании поляризационных свойств пучков частиц (например, фотонов при наличии у света частичной поляризации).
И в заключение одно замечание технического характера. Найдем квадрат статистического оператора:
= , т.е.
.
Шпур находим сразу, учитывая, что Sp() = 1:
Sp .
А теперь вспомним, что
= 1.
Если состояние чистое, то отлично от нуля только одно , причем оно есть 1. Поэтому для чистого состояния
Sp чист = 1.
Для смешанного состояния есть несколько ненулевых . Каждое из них меньше 1, а потому . Это значит, что
= 1,
т.е. для смешанного состояния
Sp.
В итоге получен критерий, позволяющий определить, не решая задачу на собственные значения оператора , описывает ли он чистое состояние, или смешанное.
– Конец работы –
Используемые теги: когерентные, состояния0.047
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов