ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ

 

Рассмотрим движение частицы в кулоновском поле V(r)= -,

r Ve(r)

для которого эффективный потенциал равен

 

(см. рисунок, а также полезно вспомнить классическую механику). Волновые функции стационарных состояний имеют вид (см. выше)

 

y_E,l,m(r,q,j) = f_El(r) Y _lm (q, j),

если ввести

R_El(r) = f_El(r) ,

то функция R_El подчиняется «одномерному» уравнению:

 

-E) R = 0.

 

Вводим боровский радиус

 

a º » 0,53 10^-8см

 

и ридберговскую энергию

 

E₁ º 13,55эВ,

 

играющие роль атомных единиц энергии и длины. Переходим к безразмерным переменным

 

и вводим обозначение

 

 

поскольку нас интересуют связанные состояния, т.е. состояния с отрицательными энергиями E, а значит и e. Тогда придем к уравнению

 

R(r) = 0.

 

Найдем асимптотическое поведение его решений. При r ® µ отбрасываем два последних слагаемых:

- a²R = 0.

 

Общее решение этого уравнения есть

 

R = A e^-ar + Be^ar,

 

и чтобы волновая функция была ограниченной, надо положить B=0:

 

R e^-ar.

При r®0 оставляем самый сингулярный член с l(l+1):

 

-l(l+1)R = 0.

 

Это есть уравнение Эйлера, решение которого ищем в степенном виде r^b и получаем

R = Cr^l+1 + Dr^-l .

 

Так как функция f(r) должна быть нормируемой, то функция R(r)=rf(r) должна обращаться в 0 при r®0, а потому должно быть D=0:

 

R .

 

Чтобы привести уравнение к стандартному виду, следует выделить асимптотики, т.е. сделать замену функции:

 

R(r) = r^l+1e^-arU(r),

 

после которой уравнение переходит в

 

r+ 2(z-a-al)U = 0.

 

Вводя новую переменную

 

x = 2ar,

 

окончательно получим следующую задачу:

 

x- l - 1)U = 0.

U(x) = 1 + 0(x), x®0; U(x) = 0 (), x ® µ.

 

Выписанное уравнение есть вырожденное гипергеометрическое уравнение, и его решение ищем в виде ряда:

U(x) =C_kx^k.

 

Дифференцируя это разложение, подставляя результат в уравнение, приравнивая члены с одинаковыми степенями, придем к рекуррентному соотношению для последовательных коэффициентов (сравн. с осциллятором):

C_k+1 = C.

Если ряд бесконечный, то при больших k

 

,

т.е. отношение соседних коэффициентов такое же, как в разложении

 

e^x = x^k.

 

Это не годится, ибо решение слишком быстро возрастает при x®µ.

Ряд должен обрываться на некотором члене, т.е. коэффициенты C_k, начиная с некоторого номера k = n_r, должны обращаться в нуль. Для этого необходимо и достаточно, чтобы

 

= n_r+l+1,

 

где n_r - произвольное целое число (включая ноль). Так как n_r - неотрицательное целое число, то n_r+l+1 - натуральное число, которое обозначим как n:

n_r + l + 1 º n.

 

Терминология тут такая: n_r - радиальное квантовое число, n - главное квантовое число (только от него и зависит энергия). При фиксированном значении орбитального момента

 

n ³ l +1.

 

Наоборот, при фиксированном n число l может принимать лишь значения

l £ n-1 : l = 0, 1, 2,..., n-1.

 

Итак,

,

 

и для возможных значений энергии

 

E_n = e_n E₁ = e_n ,

 

и окончательно получаем:

E_n = -z, n = 1, 2, 3,....

 

При заданном n орбитальный момент l принимает значения

 

l = 0, 1, ...,n-1.

При заданном l проекция момента m принимает 2l+1 значений. Поэтому данному значению энергии E_n (данному значению главного квантового числа) отвечает всего состояний

K_n = (2l+1) = n².

 

Это есть кратность вырождения энергетических уровней атома водорода (при учете спина она равна 2n²). Вырождение по m возникает в любом центральном поле - это связано с изотропией пространства: все направления равноправны, и энергия не зависит от значения проекции момента (ему «некуда» проектироваться). Вырождение по l специфично именно для кулоновского поля и называется дополнительным (иногда случайным) кулоновским вырождением.

Волновые функции можно выписать в явном виде:

 

y_nlm(r,q,j) = f_nl (r) Y_lm (q,j),

где

f_nl (r)®f_nl(r)=,

 

причем L^S_k - обобщенные полиномы Лагерра, которые выражаются через обычные полиномы Лагерра:

 

L^S_k(x) = L_k(x),

которые сами равны:

L_k(x) = e^x(e^-xx^k).

 

Выпишем несколько первых радиальных функций при z = 1:

 

f₁₀(r) = 2e^-r

 

f₂₀( r ) =

 

f₂₁(r) = .

 

Упомянем еще спектроскопическую терминологию. Состояния с l = 0, 1, 2, 3, 4... называются соответственно s-, p-, d-, f-, g- - состояниями (дальше по алфавиту). Происхождение - из серий щелочных металлов, которые именуются последовательно так: sharp, principal, diffusive, fundamental.