рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД

ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД - раздел Механика, ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД   Еще Один Мощный Метод Нахождения Низших Энергетических Уровне...

 

Еще один мощный метод нахождения низших энергетических уровней - вариационный метод. Рассмотрим функционал

 

J(y,y*) = áy||yñ = y*(x)y(x),

 

где x – весь набор переменных. Функции y предполагаются нормированными:

áy|yñ = y*(x) y(x) = 1.

 

Решаем задачу на условный экстремум, т.е. ищем функции, доставляющие функционалу экстремум при дополнительном условии нормировки. Используем метод Лагранжа, т.е. требуем

 

d{y*(x)y(x) - ly*(x) y(x)} = 0,

или

{dy*(y - ly) + (y*- ly*)dy} = 0.

 

Поскольку dy* и dy считаются независимыми вариациями, то экстремумы достигаются на функциях y, удовлетворяющих уравнениям

 

y = ly, y* = l*y*.

 

Видим, что условие экстремума есть стационарное уравнение Шредингера, если отождествить l = E. Поскольку - эрмитов оператор, то l* = l, и уравнения для y и y* эквивалентны - получаются друг из друга операцией комплексного сопряжения (- вещественный оператор). Таким образом, вместо того, чтобы решать уравнение Шредингера, можно искать функции, которые доставляют экстремум функционалу J.

Покажем, что абсолютный минимум функционалу J дает волновая функция основного состояния. Возьмем собственные функции гамильтониана

jn = Enjn, ájn|jmñ = dnm,

 

и разложим по ним произвольную функцию y:

 

y = anjn.

Из условия нормировки следует, что

 

|an|2 = 1.

Подставляем разложение в функционал:

 

J = áy||yñ =an*amájn||jmñ = an*am Emdnm = En|an|2.

 

Пусть E0 - энергия основного состояния, тогда En ³ E0, и

 

J = En|an|2 ³ E0|an|2 = E0 Þ J³E0.

Но, если y = j0, то

J = E0.

 

Таким образом, функционал J имеет минимум, и он достигается именно на функции j0. Это его минимальное значение равно E0 , что и составляет основу вариационного метода при отыскании энергии основного состояния.

На вариационный метод позволяет найти и следующие энергетические уровни. Пусть нашли E0 как минимум функционала, достигаемого на функции y=j0. Будем искать энергию E1 и функцию j1 из условия минимума функционала при дополнительных ограничениях

 

áy|yñ = 1, áy|j0ñ = 0.

 

Доказательство почти такое же, как в предыдущем случае. Имеем

 

J = áy||yñ = En|an|2,

где по-прежнему

|an|2 = 1,

 

но теперь из условия áy|j0ñ=0 следует a0=0, и потому

 

J = En|an|2³ E1|an|2 = E1.

 

Таким образом,

J ³ E1,

 

причем минимум достигается на y=j1.

Высшие энергетические уровни находятся аналогично. Значение En находится как минимум функционала на функциях, подчиненных условиям

 

áy|yñ = 1, áy|jnñ = áy|j1ñ = ... = áy|jn-1ñ = 0.

 

До сих пор рассмотрение было точным, но решение вариационной задачи обычно не проще, а сложнее непосредственного решения уравнения Шредингера. Но есть еще приближенный метод, и очень эффективный, - прямой вариационный метод, или метод Ритца. В этом методе экстремумы ищутся не на всем множестве квадратично интегрируемых функций, а только на пробных функциях, принадлежащих весьма узкому классу. А именно, выбирают функции какого-то заданного вида, но зависящие от некоторого числа параметров:

 

y = y(x|a, b, ...) .

 

Тогда и функционал

 

J = áy|yñ =y*(x|a, b, ...)y(x|a, b, ...)dx = J(a, b, ...),

 

будет функцией этих параметров, и отыскание его экстремума сводится к отысканию экстремума функции нескольких переменных a, b, ..., а это весьма простая задача из области обычного математического анализа. Если пробные функции заранее нормированы (а это всегда делают), то минимум будет находиться из решения системы обычных уравнений

 

= 0, = 0,...,

 

откуда получаются значения a0, b0,..., для которых, как следует из строгого рассмотрения, всегда

 

J(a0,b0,...) ³ E0.

 

Если класс пробных функций выбран удачно, то можно приближенно положить

 

E0 = J(a0,b0,...), j0 = y(x½a0,b0,...).

 

Главное искусство, таким образом, выбор подходящего класса пробных функций. Здесь нужно использовать всю наличную информацию, дополняя ее интуицией. Следующие уровни находятся, как описано выше. Функция y берется из того же класса, но не только нормированной, но и ортогональной к приближенной функции j0 основного состояния, уже найденной. Практически метод используют для нахождения нескольких нижних уровней, так как с ростом номера уровня резко возрастают вычислительные трудности из-за множества дополнительных условий.

Пример. Попробуем найти энергию основного состояния атома водорода с гамильтонианом

 

= - .

 

В основном состоянии l=0, а потому в сферических координатах волновая функция зависит только от r , но не от q и j :

 

y = y(r).

 

Она должна очень быстро стремиться к нулю при r ® 0, а потому можно попытаться положить

y = Pn(r)e -br,

 

где Pn(r) - некоторый полином, а b - варьируемый параметр. Но в вариационном исчислении доказывается, что функция, доставляющая минимум функционалу, не может иметь нулей в конечной области (а функция, доставляющая (n+1)- й экстремум, имеет n нулей - это теорема об узлах). Поэтому для волновой функции основного состояния полином Pn должен быть просто константой, и множество пробных функций есть

 

y(r½b) = Аe -br, b>0.

 

Дальше будут полезны интегралы

In(b) º ,

которые получаются дифференцированием по b основного интеграла

I0(b) º .

Находим константу А из условия нормировки:

 

1 =dVy*y =r2drdWy*(r) y(r) = 4pA2r2dre-2br = 4pA2I2(2b) =

= 4pA2= ,

 

откуда

А = y(r½b) = e -br.

 

Вычисляем функционал J(b). Учитывая, что

 

Ñ2 (e -br) = e -br + b2e -br

 

получим (элементарные выкладки с использованием In опускаем)

 

J(b) = e -br(-)e -br = .

 

Ищем минимум

0 =,

 

где а-радиус Бора. Для приближенной волновой функции основного состояния получаем

y0(r) = .

 

Энергия основного состояния приближенно вычисляется как J(b0):

 

E0 = J(b0) = ,

т.е.

E0 = -.

 

На самом деле результаты получились точными. Это потому, что слишком уж хорошую выбрали пробную функцию. Если бы взяли

 

y(r½b) = А e -br,

 

то результаты получились бы значительно хуже.

 

В качестве полезного упражнения предлагается решить аналогичную задачу для одномерного гармонического осциллятора

 

= ,

 

взяв как раз пробные функции вида

 

y(x½b) =А e -bx, b>0.

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД

На сайте allrefs.net читайте: ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД.

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
Будем искать релятивистские поправки к нерелятивистской квантовой физике. В последовательной релятивистской квантовой теории возможны процессы рождения частиц, которые в рамках нашего курса не могу

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги