Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорение.

Скорость при движении тел может меняться как по величине, так и по направлению( рис. 3.1):

изменение скорости за время t.

Определение ускорения :

(3.1)

 

Т.к.

(3.2)

Ускорение равно первой производной от скорости или второй производной от радиус - вектора по времени.

Ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости. Оно направлено так же как при . Из рис. 3.1 видно, что вектор направлен в сторону “закругления” траектории. Подставим в (3.1) вектор , выражен через его проекции (уравнение (2.5))

(3.3)

Выразим вектор через проекции ,

(3.4)

Из (3.3) и (3.4) находим:

а_х = , т.к.

аналогично для :

Из (3.2) получим: .

Малый участок криволинейной траектории всегда можно представить как дугу окружности радиуса R (рис. 3.2). Этот радиус называется радиусом кривизны траектории для данной точки кривой. Центр окружности (точка О) называется центром кривизны траектории. Из сказанного выше следует, что вектор всегда направлен в сторону центра кривизны. Разложим вектор на две составляющие : одна из них направлена по радиусу кривизны, вторая - по касательной (т.е. по линии перпендикулярной к радиусу кривизны).

(3.5)

Составляющая называется нормальным (или центростремительным) ускорением и характеризует быстроту изменения направления вектора скорости.

Рис.3.2

 

(3.6)

Составляющая называется тангенциальным (или касательным) ускорением и характеризует быстроту изменения вектора скорости по величине. Следовательно, модуль вектора должен быть равен:

(3.7)

Так как перпендикулярна , то:

(3.8)

 

Примеры.

 

1. Прямолинейное движение: радиус кривизны R® ¥ (направление ñêîðîñòè не меняется). Из (3.6) получим :

2. Криволинейное движение с постоянной по величине скоростью V = const :

 

 

 

 

 

3. Равнопеременное движение: = const => .
Из (3.4) получим (после интегрирования левой и правой части)

(3.10)

Из(2.6) следует :

(3.11)

y a h Рис 3.3 x

Аналогично для оси y: V_y = V_0y + a_yt

 

(3.12)

Например: тело брошено под углом a к горизонту вверх со скоростью с высоты h ( рис.3.3).