Правила додавання (віднімання) чисел у форматі з плаваючою комою

Основні правила додавання (віднімання) чисел у форматі з плаваючою комою можна сформулювати наступним чином:

1) Треба виконати операцію віднімання над значеннями порядків вихідних чисел A[пк] і B[пк]. Якщо різниця порядків не дорівнює нулю, мають бути виконані вирівнювання порядків і корекція відповідної мантиси.

3) При вирівнюванні порядків вміст розрядів мантиси числа з меншим порядком треба зсунути вправо на різницю порядків. При цьому виштовхувані молодші розряди мантиси числа з меншим порядком зникають, в її старші розряди вписуються нулі, а порядок даного числа збільшується на отриману різницю порядків.

4) Треба вирівняти розрядну сітку мантиси того числа, у якого менша кількість розрядів в мантисі – в мантису цього числа мають бути дописані нулі справа.

5) Виконати операцію додавання мантис (операція віднімання замінюється операцією додавання з від’ємним числом). Дії над доданками (мантисами) виконуються в зворотному (ЗК) або додатковому (ДК) модифіцированому коді.

6) Порядок результату повинен дорівнювати більшому порядку.

7) Якщо мантиса результату не нормалізована, то виконуються нормалізація мантиси і корекція значення порядку.

Нормалізація мантиси результату виконується в двох випадках:

а) цифри в знакових розрядах мантиси не збігаються;

б) цифри в знакових розрядах однакові і збігаються з цифрою старшого розряду мантиси.

Якщо цифри в знакових розрядах мантиси не співпадають, то мантиса зсувається на один розряд вправо, а порядок збільшується на одиницю.

Якщо цифри знакових розрядів мантиси однакові і збігаються з цифрою старшого розряду мантиси, то мантиса зсувається на один розряд вліво, а порядок зменшується на одиницю.

8) Врешті решт результат, отриманий при виконанні операції додавання, треба відобразити в прямому коді, виконавши округлення мантиси результату, а потім – у десятковому коді.

 

Приклад 4.1

 

А₁₀ = 6,25, В₁₀ = 20,5

 

1. Записуємо числа в двійковому коді:

А₂ = 110,01 = 0.11001·2⁺³

В₂ = 10100,1 = 0.101001·2⁺⁵

2. Записуємо числа у форматі з плаваючою комою (див. п.4.1):

[А]_пк = 0 011 0 11001

[В]_пк= 0 101 0 101001

3. Порівнюємо порядки: Р_В – Р_А = 5 – 3 = 2.

 

4. Різниця порядків не дорівнює нулю, тому виконуємо вирівнювання порядку числа A і відповідну корекцію мантиси числа A (порядок числа А менше порядку числа В на 2, тому робимо зсув мантиси числа А на два розряди вправо і збільшуємо порядок числа А на 2):

[А]_пк = 0 101 0 0011001

[В]_пк= 0 101 0 101001

 

5. Вирівнюємо кількість двійкових розрядів у мантисах чисел А і В (розрядна сітка мантиси числа В на одиницю менша, тому в мантису числа Bдописуємо один нуль справа):

[А]_пк = 0 101 0 0011001

[В]_пк= 0 101 0 1010010

6. Виконуємо операцію додавання мантис у додатковому модифікованому коді (знаки мантис відображаємо двома двійковими розрядами):

[М_А]_дк = 00 0011001

+[М_В]_дк = 00 1010010

[М_С]_дк = 00 1101011

Мантиса результату додавання не потребує нормалізації, тому що розряди знака мають однакові значення і значення старшого розряду мантиси не дорівнює значенню молодшого розряду знака.

7. Записуємо результат у форматі з плаваючою комою: 0 101 0 1101011.

8. Переводимо результат у двійковий і десятковий коди:

 

 

С₂ = 11010,11 С₁₀ = 16+8+2+0,5+0,25 = 26,75.

 

Слід мати на увазі, що часто через невелику кількість двійкових розрядів, виділених для зберігання мантиси, виникає похибка відтворення дробової частини вихідного числа в двійковій системі числення. Значення абсолютної похибки D відтворення числа X обчислюється за формулою:

 

D = X_{вихідне} – X_{отримане} ,

де X_{вихідне} – вихідне число; X_{отримане} – отримане число.

Значення відносної похибки d відтворення числа X обчислюється за формулою:

 

d = (D / X_{вихідне})·100 % .