Лекция 9 . Производная функции 2. - раздел Философия, Лекция 1. Вещественные числа. Ответ : это либо не рыжие хорошисты, не занимающиеся спортом, либо рыжие троечники не занимающиеся спортом П.1 Производная Обратной Функции.
Теорема 1.(Производная Обратной Фу...
П.1 Производная обратной функции.
ТЕОРЕМА 1.(производная обратной функции)
Пусть
непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция на отрезке [a;b] и имеющая в точке
производную
. Тогда обратная функция
имеет производную в точке
и
.
ДОК.
=
.
П.2 Производная сложной функции.
ТЕОРЕМА 2. (производная сложной функции)
Пусть функция
, определенная и непрерывная в окрестности
, имеет производную в точке
. Функция
определена и непрерывна в окрестности
, где
, и имеет производную в точке
. Тогда сложная функция
имеет производную в точке
и
.
ДОК.
,
где
и
б.м.ф. Тогда
и
, где
б.м.ф. в точке
.
Тогда
.
П.3 Таблица производных элементарных функций.
(1)
(2)
. (3)
(4)
(5)
.
6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
ДОК.
(10)
(11)
.
(12)
(13)
(1)
(2)
=
.
(3)
.
(4)
.
(6)
.
(7)
(8)
(9)
(5) – самостоятельно.
П.4 Дифференциал функции.
ОПР. Функция
называется дифференцируемой в точке
, если ее приращение можно представить в виде:
, где
- б.м.ф. в точке
.
ОПР. Главная линейная часть приращения , величина
, называется дифференциалом функции
в точке
.
ТЕОРЕМА 3.
Существование производной функции
в точке
является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости.
ДОК. (1) Пусть функция
дифференцируема. Тогда
и
.
(2) Если функция
имеет производную
, тогда по теореме о связи
, где
б.м.ф., т.е.
, при
.
СЛЕДСТВИЕ. Дифференциал функции
имеет вид
.
Функция
имеет производную, равную 1, поэтому
. Тогда
.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл дифференциала.
Уравнение касательной, проведенной к графику функции
в точке
, имеет вид:
.
Приращение ординаты касательной, соответствующей изменению аргумента на
равно
, т.е. значению дифференциала
.
ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ дифференциала.
Если
- функция независимой переменной y , то ее дифференциал имеет форму
. Если
сложная функция и
, то
,
т.е. форма записи дифференциала не зависит от того, является ли y независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство дифференциала называется его инвариантностью.
П.5 Арифметические операции с дифференциалами.
(1)
(2)
.
(3)
П .6 Производная и дифференциал функций, заданных параметрически.
Функцию
можно задавать с помощью двух отображений
и
композицией
. Такую функцию записывают в форме
,
. Существование
может обеспечить, например, строгая монотонность функции
.
ПРИМЕР 1. Функция
на отрезке [-1; 1] может быть задана параметрически:
,
. Тогда
.
ТЕОРЕМА 4.(о дифференцируемости функции заданной параметрически)
Пусть функция
задана параметрически
,
, причем
- дифференцируемые на отрезке
функции и
.Тогда в каждой точке x , соответствующей значению t , т.е.
, существует производная
, равная
и дифференциал
.
ДОК. (1)
.
(2)
.
УПРАЖНЕНИЯ. 1) Постройте для функции
, определенной на
, обратную функцию и найдите ее производную.
2) Неявную функцию, заданную уравнением
, записать в параметрической форме и найти ее производную в точке
.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1) Теорема о производной обратной функции.
2) Теорема о производной сложной функции.
3) Таблица производных элементарных функций.
(с доказательством)
4) Дифференцируемость функции, теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости.
5) Дифференциал функции, связь дифференциала с производной, геометрический смысл дифференциала, инвариантность формы дифференциала.
6) Производная и дифференциал функции, заданной параметрически.
П Множества... Объединение множеств... Пересечение множеств Разность множеств...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Лекция 9 . Производная функции 2.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Лекция 11 . Формула Тейлора.
П.1 Производные и дифференциалы высших порядков.
ОПР. Производной второго порядка называют производную от функции первой производной. В общем случае,
&nb
Новости и инфо для студентов