рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Лекция 11 . Формула Тейлора.

Лекция 11 . Формула Тейлора. - раздел Философия, Лекция 1. Вещественные числа. Ответ : это либо не рыжие хорошисты, не занимающиеся спортом, либо рыжие троечники не занимающиеся спортом П.1 Производные И Дифференциалы Высших Порядков. Опр. Производной Вт...

П.1 Производные и дифференциалы высших порядков.

ОПР. Производной второго порядка называют производную от функции первой производной. В общем случае,

 

.

ПРИМЕРЫ Доказать, что

(1)

(2)

 

(3)

(4)

 

(5)

 

ДОК. По индукции. (3) 1) при n = 1

 

2) предположение

 

. Тогда

.

ПРИМЕР. Найти вторую производную функции, заданной параметрически:

,

.

 

.

ОПР. Дифференциалом второго порядка функции , называют дифференциал от первого дифференциала. В общем случае,

 

.

Так

 

.

В общем случае,

 

ПРИМЕР. Форма второго дифференциала не инвариантна.

ДОК. Если сложная функция получена композицией функций и

, то

и

.

Если y – независимая переменная, то

, т.е. форма второго дифференциала неизменна, если

, в остальных случаях при переходе к сложной функции второй дифференциал изменяет свою форму.

ПРИМЕР. (Бином Ньютона)

Найдем коэффициенты многочлена

.

Заметим, что

 

коэффициенты бинома Ньютона. Тогда

 

.

П.2 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и ее приложения.

ПРИМЕР. ( многочлен Тейлора)

Для каждой функции

, имеющей n производных в точке

, можно написать многочлен Тейлора:

.

Заметим, что многочлен бинома Ньютона является многочленом Тейлора функции

в точке

. Разность

называют остатком формулы Тейлора. Отметим некоторые свойства функции

:

1)

, поскольку

.

2)

, для

т.к.

.

3)

.

ТЕОРЕМА 1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано)

Если существует производная

,то

.

ДОК. Применим правило Лопиталя для вычисления предела:

 

 

 

 

.

П. 3 Формулы Тейлора для основных элементарных функций.(

)

(1)

,

(2)

,

(3)

,

(4)

,

(5)

,

(6)

,

(7)

 

ДОК. (2)

 

 

.

(3)

,

,

  ,

   

(1)

 

(4)

,

,

,

.

П.4 Формула для эквивалентной бесконечно малой функции.

 

ТЕОРЕМА 2.

Пусть

бесконечно малая функция в точке

и ее производные

существуют в точке

до порядка n , причем

, а

. Тогда

 


.

ДОК. По формуле Тейлора

=

.

П.5 Таблица (расширенная) эквивалентностей элементарных функций.

.

(1)

~

(2)

~

 

(3)

~

(4)

~

 

(5)

~

(6)

~

 

(7)

~

(8)

~

 

ДОК. (3)

,

,

.

(4)

,

,

 

.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Производные и дифференциалы высших порядков. Вторая производная функции, заданной параметрически.

2) Многочлен Тейлора, формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

3) Формула Тейлора для элементарных функций

(с доказательством).

4) Формула для эквивалентной бесконечно малой функции. Таблица эквивалентностей.


– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Лекция 1. Вещественные числа. Ответ : это либо не рыжие хорошисты, не занимающиеся спортом, либо рыжие троечники не занимающиеся спортом

П Множества... Объединение множеств... Пересечение множеств Разность множеств...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Лекция 11 . Формула Тейлора.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Лекция 2. Множество вещественных чисел (продолжение).
П.1 Понятия и   ОПР. Числовое множество Х н

Лекция 3. Последовательности, предел последовательности.
ОПР. Последовательностью называют числовую функцию, заданную на множестве N натуральных чисел.  

Лекция 5. Предел функции.
Рассмотрим функцию и точку такую, что

Лекция 7. Непрерывные функции.
П1. Непрерывность функции в точке. ОПР. Функция непрерывна в точке

Лекция 8 . Монотонные функции. Производная.
П.1 Монотонные функции. ОПР. Функция : называетс

Лекция 9 . Производная функции 2.
П.1 Производная обратной функции. ТЕОРЕМА 1.(производная обратной функции) Пусть непрерывная, ст

Лекция 10 . Теоремы о среднем для производных.
П.1 Локальный экстремум функции. ОПР. Точка называется точкой локального максимума функции

Лекция 13. Исследование функции, график функции.
П.1 Выпуклость функции. ОПР. Функция в точке наз

Лекция 12 . Формула Тейлора 2.
П.1 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. ТЕОРЕМА 1. (обобщенная теорема Коши) Пусть даны функции ,

Лекция 13. Исследование функции, график функции.
П.1 Выпуклость функции. ОПР. Функция в точке наз

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги