Лекция 10 . Теоремы о среднем для производных. - раздел Философия, Лекция 1. Вещественные числа. Ответ : это либо не рыжие хорошисты, не занимающиеся спортом, либо рыжие троечники не занимающиеся спортом П.1 Локальный Экстремум Функции.
Опр. Точк...
П.1 Локальный экстремум функции.
ОПР. Точка
называется точкой локального максимума функции
, определенной в некоторой окрестности
, если
. Если неравенство строгое для всех
, то говорят о строгом локальном максимуме.
ОПР. Точка
называется точкой локального минимума функции
, определенной в некоторой окрестности
, если
. Если неравенство строгое для всех
, то говорят о строгом локальном минимуме. Если функция имеет в точке
локальный минимум или локальный максимум, то говорят о локальном экстремуме функции.
ПРИМЕР 1.(не характерный)
Функция
имеет, по определению, в точке
строгий локальный максимум, поскольку
, не смотря на то, что убывает в левосторонней окрестности и возрастает в правосторонней окрестности точки
. Следующая теорема устанавливает необходимые условия локального экстремума.
ТЕОРЕМА 1. (Ферма)
Если функция
в точке
имеет локальный экстремум, то либо функция не имеет производную в точке
, либо эта производная равна нулю.
ДОК. (1) Если производной в точке
нет, то теорема доказана (см. пример 1). (2) Пусть производная
существует и
. Тогда
и знак
для достаточно малых
определяется знаком выражения
, а он меняется в зависимости от знака
. Последнее противоречит условию локального экстремума в точке
, т.е.
.
П.2 Теоремы о среднем для производных.
ТЕОРЕМА 2. (Ролля)
Если функция
1) непрерывна на отрезке [a;b],
2) дифференцируема в каждой точке интервала (a;b), 3) принимает на концах отрезка равные значения :
,
то существует на интервале (a;b) такая точка c , для которой
.
ДОК. По доказанной теореме непрерывная на [a;b] функция принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения :
и
. Если одна из точек c1или c2лежит на интервале (a,b) , то теорема доказана, поскольку эта точка является точкой локального экстремума и по теореме 1
. Если
или
, но они совпадают с концами отрезка, то
и функция постоянная на отрезке[a;b] и
.
ПРИМЕР 2 . Функция
на отрезке
удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, кроме одного: в точке
функция не имеет производную. При этом утверждение теоремы не выполняется:
для
и
для
.
ТЕОРЕМА 3. (Коши)
Если функции
и
1) непрерывны на отрезке [a;b], 2) дифференцируемы в каждой точке интервала (a;b), 3)
на интервале
,
то существует на интервале (a;b) такая точка c , для которой
.
ДОК. Из условия теоремы следует, что
. Действительно, если
, то функция
удовлетворяет условиям теоремы Ролля и тогда найдется такая точка c , для которой
, что противоречит условию 3) теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию
.
Проверим, что
. Действительно,
и функция
удовлетворяет условию теоремы Ролля. Тогда найдется
, для которой
.
Из последнего равенства следует утверждение теоремы.
ТЕОРЕМА 4 (Лагранжа)
Если функции
1) непрерывна на отрезке [a;b],
2) дифференцируема в каждой точке интервала (a;b), то существует на интервале (a;b) такая точка c , для которой
.
ДОК. Следует из теоремы Коши для
.
П.3 Следствия из теорем о среднем.
ТЕОРЕМА 5. ( правило Лопиталя для раскрытия неопределенности
)
Если функции
и
1) непрерывны на [a;b) , ( а и b не обязательно конечны), 2) дифференцируемы в каждой точке интервала (a;b), 3)
на интервале
,
4)
, 5) существует
,
то существует
.
ДОК. Для любого
на отрезке
выполняются условия теоремы Коши и найдется
, для которого
.Если
, то
и
=
.
В теореме допускается случай
.
ТЕОРЕМА 6. ( правило Лопиталя для раскрытия неопределенности
)
Если функции
и
1) непрерывны на [a;b) , ( а и b не обязательно конечны), 2) дифференцируемы в каждой точке интервала (a;b), 3)
на интервале
,
4)
,
,5) существует
.,
то существует
.
ДОК. (1) Пусть А – конечное число. Тогда
.Определим функцию
из условия
, т.е.
Заметим, что
.(условие 5)) Применим для отрезка
и функций
теорему Коши. Тогда для некоторой точки
:
и для всех x , для которых
имеем
т.е.
.
(2) Пусть
. Тогда
.
Если x достаточно близок к a , то из
следует
и
.
УПРАЖНЕНИЯ 1) Пусть
определена на отрезке
и при любых
из этого отрезка выполняется неравенство :
,
. Доказать, что функция
постоянная.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1) Локальный экстремум функции, теорема Ферма.
2) Теоремы о среднем для производных. Теорема Ролля.
3) Теоремы о среднем для производных. Теорема Коши.
4) Теоремы о среднем для производных. Теорема Лагранжа. Теорема Лопиталя для раскрытия неопределенностей
.
5) Теорема Лопиталя для раскрытия неопределенностей
П Множества... Объединение множеств... Пересечение множеств Разность множеств...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Лекция 10 . Теоремы о среднем для производных.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Лекция 11 . Формула Тейлора.
П.1 Производные и дифференциалы высших порядков.
ОПР. Производной второго порядка называют производную от функции первой производной. В общем случае,
&nb
Новости и инфо для студентов