Лекция №4. Скалярные и векторные произведения векторов

Казахская Головная Архитектурно- Строительная Академия.

Активный раздаточный материал.

Математика 1 ФОЕНП

Кредит 3 1-ый семестр

Лекция №4. Скалярные и векторные произведения векторов. 2012-13 уч. г.

 

Краткое содержание лекции

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними: () = = ||×||×cosφ

Скалярное произведение обладает следующими основными свойствами:

1. Скалярное произведение двух векторов не зависит от порядка этих сомножителей (переместительное свойство): =
2. Распределительное свойство. (+)= + .
3. Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора, т. е. ²= ||²
4. Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения, т. е. (λ ) = (, λ) = λ()
5. Скалярное произведение линейной комбинации векторов на произвольный вектор равно такой же линейной комбинации данных векторов на этот вектор, т. е. (λ + μ, ) = λ(,) + μ(, )

 

Косинус угла φ=() между двумя ненулевыми векторами и равен cosφ= .

Два вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, когда

Пусть =a_x + a_y + a_z и =b_x + b_y + b_z, тогда =a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z, здесь учтены, что = = = 0 и = = = 1

Поэтому косинус угла φ между двумя векторами и определяется cosφ= (a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)/ (||||)

Для перпендикулярных векторов и имеем φ=π/2 и, следовательно, cosφ=0, или a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=0.

Под векторным произведением двух векторов и понимается вектор =×=[a.b], для которого:

1. Модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. |c| = |a | |b|sinφ,где φ=∟(), (0≤φ≤π) (рис 4.1);

рис 4.1

2. Этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т. е. _┴ и _┴ ;

3. Если векторы неколлинеарные, то векторы ,образуют правую тройку векторов.

 

Основные свойства векторного произведения.

1. При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т. е. ×=-(×)

2. Векторный квадрат равен нуль-вектору, т. е. ×=0

3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т. е. если λ-скалярное, то (λ×) = (×λ) = λ(×)

4. Для любых трёх векторов a,b,c справедливо равенство (+)×=()+()

Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов и : ×=0

Пусть =a_x + a_y + a_z и =b_x + b_y + b_z, тогда

×=| a_y a_z| - | a_x a_z| +| a_x a_y|

| b_y b_z| |b_x b_z| | b_x b_y |

Для удобства последняя формула записывается в виде определителя третьего порядка

| |

×= | a_x a_y a_z|

|b_x b_y b_z|

Под смешанным произведением и понимается число

Построим параллелепипед (рис 4.2),

рис 4.2

Ребрами которого, исходящего из общей вершины О, являются векторы и . Тогда |×|=S представляет собой площадь параллелогромма, построенного на векторах и , т. е. площадь основания параллелипипеда. Высота этого параллелипипеда равна H= ±nр = ±|| cosφ, где =× и знак плюс соответствует острому углу φ=∟(,), а знак минус тупому углу φ. В первом случае векторы , образуют правую тройку, а во втором- левую тройку. Поэтому = = S np=±V, т. е. объём параллелипипеда, построенного на векторах , . Отсюда =±V.

Основные свойства смешанного произведения

1. ==
2. ====-

Необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторов , : =0

Если = a_x + a_y + a_z, =b_x + b_y + b_z, =с_x + с_y + с_z то

| a_x + a_y + a_z|

=| b_x+ b_y + b_z|

| с_x + с_y + с_z|

Задание на СРС

1. Свойства скалярного, векторного и смешанного произведения векторов [1, 3, 4]

Форма отчёта: конспект, срок 6 дней.

2. Решить задачи, из [2, стр.274, № 2, 4, 5] .

Задание на СРСП

1. Линейная зависимость векторов [1,3]

 

Контрольные вопросы:

А. Для письменного контроля

1. Что такое скалярное произведение двух векторов?
2. Основные свойства скалярного произведения векторов и
3. Как определяется скалярное произведение векторов =(a_x, a_y, a_z) и (b_x, b_y, b_z)?
4. Условие перпендикулярности векторов =(a_x, a_y, a_z) и (b_x, b_y, b_z)
5. Как определяется векторное произведение векторов и ?
6. Основные свойства векторного произведения ×?
7. Как определяется ×, если =(a_x, a_y, a_z) и (b_x, b_y, b_z)?
8. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и
9. Как понимается смешанное произведение векторов и ?
10. Основные свойствва смешанного произведения
11. Как определяется если =(a_x, a_y, a_z), (b_x, b_y, b_z) и (с_x + с_y + с_z)?
12. Необходимое и достаточное условие компланарности векторов , ?

Б. Для компьютерного тестирования

1. Вычислить косинус угла, образованного векторами =(2; -4; 4) и (-3; 2; 6).

А) 2; В) 2/3; С) 4; Д) 5/21; Е)3/5;

2. Даны векторы =(-4; -2;-4) и (6;-3;2). Вычислить: (2-3)(+2).

А)40; В)2/3; С)4; Д)-200; Е)5

3. Даны точки А(1; 2; 0), В(3; 0; -3) и С(5; 2; 6). Вычислить площадь треугольника АВС.

А) 50 кв. ед.; В) 14 кв.ед. С) 25 кв.ед.; Д)40 кв. ед.; Е) 45 кв. ед.

4.Дано, что ||=3, ||=5. Определить, при каком значении ά векторы +2,-2, будут взаимно перпендикулярны.

А) ±2; В) 2/7; С) ±3/5; Д) 4; Е) ±5.

5. Даны вершины треугольника А(-1;-2;-4), В(-4;-2;-0)и С(3;-2;1). Определить его внутренний угол при вершине В.

А) 30º; В) 35º; С) 40º; Д) 45º; Е) 50º;

6. Даны три вектора: =(1;-1;3), =(-2;2;1), =(3;-2;5). Вычислить смешанное произведение .

А) -3; В) 5; С) -7; Д) 8; Е) 1;

Глоссарий

 

№	На русском языке	На казахском языке	На английском языке
	Смешанное	Аралас	Mixed
	Произведение	Көбейту	Product
	Скалярное произведение	Скалярлық көбейту	Scalar product
	Свойство	Қасиеті	Property
	Площадь	Аудан	The area
	Основные	Негізгі	Basic
	Площадь основания	Табан ауданы	The area of the basic
	Необходимый	Қажетті	Necessary
	достаточный	жеткілікті	Suffisient

Список литературы

Основная:

1. Бугров А. С., Никольский С. М. «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии»-М:Наука 2002

2. Рябушко А.П. ИДЗ по ВМ - М: Наука, 2003

3. К. Кабдыкаир. Курс математики. Алматы, 2005.

4.Д.К. Сыдыкова Математика-1. Методическое руководство по выполнению заданий для СРС. КазГАСА, 2008.

Дополнительная:

5. В. Е. Шнейдер и др «Краткий курс высшей математики» 1,2 том.- М: Высшая школа, 2000

1. Д. В. Клетник «Сборник задач по аналитической геометрии» М.Наука, 2001