Операционный анализ СМО.

Существование в теории массового обслуживания задач операционной направленности и позволяет считать эту теорию одним из разделов исследования операций. Разумеется, некоторые из операционных задач по своей природе относятся к разряду статистических. Другие операционные задачи возникают при проектировании СМО, управлении реальными СМО и оценках их эффективности.

При постановке операционных задач следует различать описательный и нормативный подходы. В первом случае описание системы через ее операционные характеристики используется для принятия решений относительно режима функционирования данной системы. При нормативном подходе путем математического моделирования устанавливаются нормативные требования по обеспечению эффективной работы системы.

Описательный подход к операционному анализу СМО всегда был доминирующим, начиная с работы Эрланга 1948 г., в которой решалась задача определения оптимального числа каналов телефонной связи (при этом в качестве критерия оптимальности берется минимум вероятности потерь из-за отказа в обслуживании). Другими примерами является имитационная процедура совершенствования системы заявок пациентов на прием к врачу, способ определения оптимального числа прием­щиков списанного оборудования в пунктах инвентаризации техни­ческих изделий, результаты, полученные в связи с ис­следованием задержек транспортных средств возле пунктов про­дажи запчастей и т. п.

При нормативном подходе определяются оптимальные значения характеристик или параметров системы с учетом физических и экономических ограничений. Так, например, используя эконо­мические показатели, связанные с задержками, качеством обслу­живания и рентабельностью системы, можно определить опти­мальные значения объема пространства для ожидания, числа обслуживающих приборов, коэффициента нагрузки, интенсивно­сти обслуживания и т. д.

При решении сложных операционных задач весьма эффективно может быть использован метод имитационного моделирования. Путём моделирования СМО были получены результаты, позволяющие сделать ряд практических рекомендаций относительно стратегии управления и проектирования СМО.

(1) С помощью простых стоимостных моделей показано, что среднее время ожидания Е [Т] в (для распределения Эрланга k-го порядка) равно:

Е [Т] = a[1 + 1/k]/2m(1 - a)

где a = l/m . Очевидно, что Е [T] принимает наимень­шее значение при k ® ¥ (т. е. при обслуживании с постоянной скоростью) и наибольшее значение при k = 1 (т. е. при экспонен­циальном распределении длительностей обслуживания).

Для многоканальной системы типа М/М/s были получены простые соотношения для оценок оптимальных значений ряда параметров. В частности оказывается, что в случае, когда коэффициент нагрузки l/sm и интенсивность поступления требований являются константами, средняя длина очереди и среднее время ожидания принимают минимальные значения при s = 1. В случае одноканальной системы М/М/1 с экономической точки зрения оптимальной является интенсивность обслуживания, опре­деляемая соотношением

m* = l + ÖlС_w./С_s

где C_s - затраты, связанные с работой одного обслуживающего прибора в течение единичного интервала времени (например, в течение минуты), а С_w - стоимость ожидания любого из требо­ваний в течение единичного интервала времени (цена ожидания).

Далее, оказалось например, что оптимальное число касс в большом продовольственном магазине с самообслуживанием при пуассоновском потоке клиентов на выходе должно равняться

s* = b₁ + Ölb₂C_w/2C_s

где l - интенсивность потока покупателей; b₁ и b₂ - первый и второй моменты произвольного распределения вероят­ностей длительностей обслуживания кассирами.

(2) Варьирование интенсивности обслуживания. Для обеспе­чения эффективного функционирования СМО необходимо управлять либо входным потоком, регулируя интенсивность поступлений требований на обслуживание, либо обслуживающим механизмом, регулируя интенсивность обслу­живания. В большинстве реальных случаев можно управлять лишь обслуживающим механизмом путем варьирования интен­сивности обслуживания. Увеличение интенсивности обслуживания может быть достигнуто либо за счет увеличения числа обслужи­вающих приборов, либо с помощью других средств (например, средств автоматизации).

Имеются модели, в которых длина очереди в системе М/М/s регулируется следующим образом. Обслуживание начинается при минимальном значении s ; как только число требований в линии ожидания оказывается больше некоторого заранее установленного числа N , вводятся в действие дополнительные обслуживающие приборы, т. е. значение s увели­чивается. Максимальное число обслуживающих приборов в данной системе равняется S . Как только длина очереди становится меньше критической (т. е. когда число требований, ожидающих обслуживания, оказывается меньше N, дополнительно вводимые в действие приборы «выключают»).

Имеется и стратегия иного рода. Всякий раз, когда длина очереди достигает некоторого значения R_k , интен­сивность обслуживания увеличивают. Если же в ходе функционирования СМО длина очереди сокра­щается до S_k а при этом интенсивность обслуживания равняется m_k+1 , то от m_л+1 переходят к m_л .

(3) Стратегии включения — выключения канала обслужива­ния. Обслуживающий прибор выключается, когда число требований в СМО становится равным нулю. В число стоимостных характеристик такой модели входят затраты, связанные с включением и выключением прибора, стоимость функционирования прибора в течение единичного интервала времени и стоимость «содержания» каждого требования в СМО в течение единичного интервал времени.

Далее, имеется, например, стратегия, заключающаяся в том, процесс обслуживания начинается, как только длина очереди становится равной М и продолжается до тех пор, пока очередь не уменьшится до значения m.

(4) Рекомендации при проектирования СМО . При проектировании СМО основной объем полезной исходной информации удается извлечь из моделей СМО описательного типа. Модели нормативного характера встречаются литературе чрезвычайно редко.

Эффективность массового обслуживания при согласованной работе обслуживающих приборов будет более высокой, чем при их изолированном использовании (даже если пропускная способность в обоих случаях одинакова). Это следует из того факта, что в первом случае при отсутствии в системе требований на обслуживание приборы будут находиться в выклю­ченном состоянии, тогда как во втором случае этого не будет. Следует, однако, заметить, что оптимальность первого варианта в сильной степени зависит от экономических предпосылок и характера обслуживания.

(5) Системы с приоритетами. СМО с приоритетами относятся к категории трудноанализируемых. В задаче оптимизации графика работ для систем такого рода существенную роль играют правила назначения приоритетов. Полученные результаты отно­сится к случаю, когда приоритетность определяется на основе информации о том, сколько времени потребуется на обслуживание того или иного клиента. При отсутствии такой информации средние значения основных показателей систе­мы (таких, как средняя длина очереди и среднее время ожидания) одинаковы для многих видов дисциплины очереди.

Приоритетность нередко назначается на основе оценок продолжительностей предстоящих процедур обслуживания. Если точно известно, сколько времени потребуется на обслу­живание каждого из поступивших требований, то дисциплиной очереди, при которой минимизируется средняя за весь период обслуживания длина очереди и средняя (тоже за весь период функционирования системы) продолжительность ожидания (без права пропускать вперед клиентов с более низким приоритетом), является дисциплина, основанная на приоритете «первым обслу­живается требование, которое можно обслужить быстрее других».

Если же дисциплина очереди такова, что требование с более высоким приоритетом использует право обслуживаться по более низкому приоритету, то оказывается справедливым утверждение: средняя за весь рассматриваемый период длина очереди и средняя длительность ожидания минимизируются при реализации правила: клиент, продолжительность обслуживания которого меньше всего отличается от продолжительности обслу­живания клиента с высшим приоритетом, подлежит обслуживанию в первую очередь.

Если имеют место пуассоновские потоки требований N типов и b_i (i = 1, 2, ...., N) - продолжительность обслуживания требования i-го типа, а h_i (i = 1, 2, . . ., N) - стоимость ожидания требования i-го типа, то оптимальное упорядочение требований по приоритетам достигается путем построения возрастающей последовательности отношений b_i/h_i с назначением наивысшего приоритета требова­ниям того типа, которые соответствуют первому члену в этой последовательности.

Задачи еще одного класса возникают при анализе СМО, в которых приоритеты продаются (обслуживающей системой) и покупаются (клиентами). Некоторые связывают намерение купить право быть обслуженным быстрее с фактором нетерпеливости клиентов. В этом случае функция, определяющая плату за повышение приоритета, оптимальная, если с увеличением степени нетерпеливости она монотонно возрастает.