рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Образование
/
Формула Симпсона

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Формула Симпсона

Формула Симпсона - раздел Образование, Погрешность. Определение погрешности Еще Одна Возможность Получения Квадратурных Формул - Использо...

Еще одна возможность получения квадратурных формул - использование метода Рунге-Ромберга (подраздел 3.3). Для вычисления интеграла

(16)

применим обобщенную формулу трапеций (14) с n=2

(17)

на сетке с шагом h=(b-a)/2. Здесь, в соответствии с обозначениями формулы (3.13),

(18)

На сетке с вдвое более крупным шагом 2h=b-a главная часть формулы трапеций имеет вид

(19)

Учитывая, что r=2, после применения формулы Рунге-Ромберга (3.15) получим уточненную квадратурную формулу

(20)

называемую формулой Симпсона.

Более детальный анализ позволяет определить главный член погрешности

(21)

Таким образом, формула Симпсона (20) имеет четвертый порядок точности. Она точна для многочлена третьей степени.

Обобщенная формула Симпсона для равномерной сетки и четного числа шагов n имеет вид

(22)

4.5. Формулы Гаусса и Маркова

Квадратурная формула Ньютона-Котеса (3) имеет n+1 параметр с_i. Поэтому она точна для полинома n-й степени. Гаусс рассматривал узловые точки x_i также как варьируемые параметры, общее число которых при этом становится равным 2(n+1). Таким образом, рациональным выбором узловых точек можно получить квадратурные формулы Гаусса, точные для полиномов (2n+1)-й степени. Эти формулы записываются для a=-1, b=1 в виде

(23)

Ниже приведены узлы и веса для формул с различным числом узлов m.

(24)

Если интеграл задан в произвольном виде, то к стандартному виду (23) он приводится заменой переменных x=kx+d, где k=(b-a)/2; d=(a+b)/2.

Границы области интегрирования часто вызывают особый интерес и поэтому бывает необходимо расположить в них узлы. Если остальные узлы выбирать из соображений наивысшей точности квадратурной формулы, то последняя, называемая формулой Маркова, будет иметь точность на два порядка меньшую, чем соответствующая формула Гаусса. Узлы и веса для квадратурных формул вида (23) имеют следующие значения.

(25)

4.6. О сходимости квадратурных формул

Обобщенные формулы средних, трапеций, Симпсона и другие формулы Ньютона-Котеса являются интегральными суммами, поэтому при n®8 они сходятся к точному значению интеграла для непрерывных подынтегральных функций. Можно также доказать аналогичные утверждения и для формул Гаусса и Маркова.

Скорость сходимости квадратурных формул связана с оценкой их остаточного члена:

(26)

Порядок точности формулы — к, но при условии, что — кусочно-непрерывна и ограниченна, либо неограниченна, но интегрируема с квадратом. Если же не удовлетворяет этим условиям, то порядок точности будет меньшим, чем к.

Таким образом, увеличивать порядок точности применяемых квадратурных формул имеет смысл до тех пор, пока главный член погрешности (26) удовлетворяет сформулированным выше условиям. Иначе применение “более точных” формул не даст более точного результата. Повышать точность интегрирования функций малой гладкости следует за счет увеличения числа подынтервалов интегрирования.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Погрешность. Определение погрешности

Определение погрешности Погрешность ошибка некоторой величины это разность... Способы оценки погрешности... Различают априорную и апостериорную оценки погрешности...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Формула Симпсона

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Определение погрешности
Физические величины почти всегда известны приближенно, с погрешностью, если только речь не идет о целочисленных величинах или физических эталонах. Погрешность (

Источники погрешности
В теоретических исследованиях выделяют следующие источники погрешности: - погрешность исходных данных; - погрешность математической модели

Задачи аппроксимации и интерполяции
Часто функции либо имеют очень громоздкое аналитическое выражение, либо заданы таблично. В этом случае имеет смысл на некотором интервале заменить заданную функцию y(x) приближенным аналитическим,

Интерполяционный многочлен Ньютона.
Наиболее проста и универсальна интерполяция степенными функциями . (2.7) Можно показать, что условие (6) при этом всегда в

Погрешность и трудоемкость интерполяции
Известные в литературе априорные оценки погрешности интерполяции на практике неприменимы, т.к. они требуют знания производных от функции y(x). Для апостериорной оценки погрешнос

Нелинейная интерполяция
Полиномиальная интерполяция не всегда сходится. Ряд (17) расходится для быстро изменяющихся функций (для сетки с большим шагом). В этом случае следует применить метод выравнивания

Эрмитова интерполяция
Постановка задачи эрмитовой интерполяции: таблично задана функция y(x), а также ее производные:

Интерполяция сплайнами
Сплайн - непрерывная кусочно - полиномиальная функция. Ее степень в задачах интерполяции не зависит от числа узлов и поэтому сплайны эффективны при многоузловой

Аппроксимация функций методом наименьших квадратов
В прикладных задачах бывает необходимо аппроксимировать функцию единым аналитическим выражением на большом интервале изменения независимой переменной, что невозможно методами интерп

Двумерная интерполяция
Пусть функция z=z(x, y) задана таблично на прямоугольной сетке: (43) Необ

Полиномиальные формулы
Численное дифференцирование применяется, если функцию y(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически, например, если она задана таблично. Оно используется также при реш

Конечноразностные формулы
Часто требуется найти производные от функций, заданных на равномерной сетке и не в произвольной точке, а в узле сетки. Тогда можно получить формулы более простые, чем в общей постан

Метод Рунге - Ромберга
Этот метод позволяет, применяя формулы р-го порядка точности, получить результат (р+1)-го порядка точности. Пусть приближенное значение некоторой величины на сетке с шагом

Вычисление интегралов
4.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса Даже если функция f(x) задана аналитически, вычислить интеграл

Формула средних
Самая простая квадратурная формула — одноузловая. Наиболее рационально выбирать этот узел посредине интервала, в точке `х=(a+b)/2. Для вывода формулы разложим подынтегральную функци

Формула трапеций
Если аппроксимировать подынтегральную функцию в (1) многочленом Лагранжа: (10)

Нестандартные случаи интегрирования
Вычисление интеграла от функции, разрывной в точке х=с (а<с<в), возможно с высокой точностью, если интеграл предварите

Решение систем линейных алгебраических уравнений
5.1. Постановка задачи Рассматривается система n линейных алгебраических уравнений (сокращенно - СЛАУ) с n неизвестными

Корректность задачи
Задача поставлена корректно, если: 1) решение задачи существует; 2) оно единственно, 3) решение непрерывно зависит от входных данных. Вхо

Метод прогонки
Если матрица СЛАУ ленточная трехдиагональная, то метод Гаусса принимает более компактную форму и называется методом прогонки. СЛАУ при этом имеет следующий вид:

Метод LU-разложения
Матрица A СЛАУ , (5.21) если все главные миноры матрицы A отличны от ну

Метод квадратного корня
Если СЛАУ имеет симметричную матрицу, то для последней возможно представление A = STDS,(5.29) где S- верхняя треугольная матрица,

Итерационные методы решения СЛАУ
Итерационные методы решения СЛАУ заключаются в построении последовательности векторов (k=0,1,2,…), сходящейся к вектору

Алгебраическая проблема собственных значений
6.1. Постановка задачи Рассматривается матричное (векторное) уравнение ,(6.1)

Преобразование подобия
Матрица (6.5) называется подобной матрице

Итерационный метод вращений (Якоби)
Метод применим к симметричным матрицам и состоит в приведении заданной матрицы .к диагональному виду с помощью беско

Метод половинного деления (дихотомия)
Пусть найдены такие точки и , что

Метод простых итераций
Заменим уравнение (1) на эквивалентное ему уравнение ,(7.2) Выберем начальное приближение

Метод Ньютона (касательных)
Пусть в уравнении (1) функция имеет непрерывную производную. Тогда это уравнение можно преобразовать к виду

Метод Ньютона решения системы нелинейных уравнений
Систему нелинейных уравнений можно записать в краткой векторной форме (7.21) или в координатном виде