Погрешность. Определение погрешности

Погрешность

 

Определение погрешности

Погрешность (ошибка) некоторой величины - это разность между приближенным и точным значениями некоторой величины.   .(1.1)

Источники погрешности

- погрешность исходных данных; - погрешность математической модели, связанную с тем, что не рассматриваются… - погрешность метода, связанную с тем, что идеальные математические объекты и операции могут заменяться их…

Способы оценки погрешности

Различают априорную и апостериорную оценки погрешности.

Априорная оценка погрешности - та, которая может быть получена до решения задачи. Она позволяет сначала определить, при каких параметрах математической модели может быть получена удовлетворительная точность и только после этого провести решение поставленной задачи. Такая последовательность действий является наиболее рациональной. Однако на практике получить априорную оценку погрешности удается нечасто.

Апостериорная оценка погрешности - та, которая получается после (в результате) решения задачи. Для этого, как правило, необходимо получить несколько решений задачи с различными параметрами математической модели. Такой подход более трудоемок, но обычно он бывает единственно возможным.

 

Аппроксимация, интерполяция функций

Задачи аппроксимации и интерполяции

Постановка задачи аппроксимации: задана функция . Требуется найти в аналитическом виде функцию , которая на некотором интервале приближенно равна… . (2.1) Функция называется аппроксимируемой, функция - аппроксимирующей функцией или - коротко - аппроксимацией. Интервал -…

Интерполяционный многочлен Ньютона.

. (2.7) Можно показать, что условие (6) при этом всегда выполняется и, таким образом,… (2.8)

Интерполяционная формула Лагранжа

Интерполяционный полином Лагранжа имеет следующий вид:

, (2.17)

где - пока неизвестные полиномы n-й степени. Легко видеть, что условия интерполяции (1) в данном случае означают

(2.18)

Таким условиям удовлетворяют следующие полиномы

(2.19)

Поскольку степенная интерполяция единственна, то формулы Лагранжа (17), (19) отличаются от формул Ньютона (15), (16) только формой записи.

 

Погрешность и трудоемкость интерполяции

Для апостериорной оценки погрешности возможны два подхода. А. Формула (15) представляется как частичная сумма ряда (2.20)

Нелинейная интерполяция

1. После изучения характера поведения функции y(x) подбирается такое преобразование переменных (2.24) чтобы зависимость была медленно изменяющейся функцией, близкой к линейной.

Эрмитова интерполяция

(19) (порядок производной).

Интерполяция сплайнами

Сплайн - непрерывная кусочно - полиномиальная функция. Ее степень в задачах интерполяции не зависит от числа узлов и поэтому сплайны эффективны при… Пусть функция y(x) задана таблично: (22)

Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

В прикладных задачах бывает необходимо аппроксимировать функцию единым аналитическим выражением на большом интервале изменения независимой… Пусть функция y(x) задана таблично:  

Двумерная интерполяция

Пусть функция z=z(x, y) задана таблично на прямоугольной сетке:   (43)

Численное дифференцирование

 

Полиномиальные формулы

Численное дифференцирование применяется, если функцию y(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически, например, если она задана… Пусть функция y(x) задана таблично на произвольной сетке . Требуется вычислить…  

Конечноразностные формулы

Часто требуется найти производные от функций, заданных на равномерной сетке и не в произвольной точке, а в узле сетки. Тогда можно получить формулы…  

Метод Рунге - Ромберга

Этот метод позволяет, применяя формулы р-го порядка точности, получить результат (р+1)-го порядка точности. Пусть приближенное значение некоторой величины на сетке с шагом h вычисляется…  

Вычисление частных производных

 

Для вычисления частных производных таблично заданной функции z(x,y) следует сначала аппроксимировать ее

 

(17)

 

а затем вычислить приближенные значения нужных производных:

 

(18)

 

Если же функция z(x,y) задана на равномерной прямоугольной сетке

 

(19)

с шагами h по х и l по y, то частные производные в узлах находятся последовательным применением конечноразностных формул для обыкновенных производных по одной и по другой переменным. Например,

(20)

 

Вычисление интегралов

4.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса   Даже если функция f(x) задана аналитически, вычислить интеграл

Формула средних

Самая простая квадратурная формула — одноузловая. Наиболее рационально выбирать этот узел посредине интервала, в точке `х=(a+b)/2. Для вывода…   (4)

Формула трапеций

Если аппроксимировать подынтегральную функцию в (1) многочленом Лагранжа:   (10)

Формула Симпсона

Еще одна возможность получения квадратурных формул - использование метода Рунге-Ромберга (подраздел 3.3). Для вычисления интеграла (16)  

Нестандартные случаи интегрирования

Вычисление интеграла от функции, разрывной в точке х=с (а<с<в), возможно с высокой точностью, если интеграл предварительно представить в…   (27)

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Рассматривается система n линейных алгебраических уравнений (сокращенно - СЛАУ) с n неизвестными (5.1) где aij - заданные коэффициенты, bi - известные свободные члены. Требуется решить СЛАУ (1), то есть, найти такие…

Корректность задачи

1) решение задачи существует; 2) оно единственно, 3) решение непрерывно зависит от входных данных.

Методы решения СЛАУ

Все методы решения СЛАУ делят на две группы: прямые и итерационные.

Прямые методы имеют следующие отличительные особенности:

1) их погрешность равна нулю;

2) решение гарантируется после предопределенного количества вычислительных операций;

3) требуется заранее вычисленная матрица A.

Итерационные методы имеют следующие отличительные особенности:

1) их погрешность отлична от нуля;

2) решение может быть получено, если метод сходится; количество вычислительных операций заранее неизвестно и зависит от требуемой точности;

3) при вычислениях, как правило, последовательно используются отдельные уравнения и не обязательно заранее вычислять всю матрицу A.

4) алгоритм очень прост.

 

 

Метод Гаусса (схема единственного деления)

Идея метода состоит в приведении заданной СЛАУ к СЛАУ с треугольной матрицей (прямой ход) с последующим ее решением (обратный ход).

Прямой ход заключается в исключении поддиагональных слагаемых и начинается с того, что первое (ведущее) уравнение СЛАУ (5.1) делится на т.н. ведущий коэффициент a₁₁=a_11,0:

. (5.9)

Затем каждое из уравнений делится на коэффициент, находящийся под ведущим (a_i1) и от него вычитается ведущее уравнение (9). Получается СЛАУ, состоящая из уравнения (9) и уравнений без первого столбца вида

(5.10)

Теперь ведущим выбирается второе уравнение СЛАУ, а ведущим коэффициентом - a_22,1. После деления ведущего уравнения на ведущий коэффициент получаем

. (5.11)

Затем каждое из уравнений делится на коэффициент, находящийся под ведущим (a_i1) и от него вычитается ведущее уравнение (5.11). Получается СЛАУ, состоящая из уравнений (5.9), (5.11) и уравнений без первых двух столбцов вида

(5.12)

Последовательное повторение этих операций приводит СЛАУ к виду

(5.13)

Обратный ход - это решение СЛАУ (13), начиная с последнего уравнения.

Всего производится приблизительно 2/3n³ арифметических действий (около половины из них - сложения, столько же умножений и n делений).

Вычисление определителя матрицы Aиспользует результаты прямого хода:

Метод Гаусса неприменим, если какой-либо ведущий коэффициент равен нулю. Также нежелательно, если ведущий коэффициент близок к нулю. Это ухудшает точность расчетов. Для избежания таких ситуаций каждый раз ведущим назначается такое уравнение, которое дает максимальный по модулю ведущий элемент (главный элемент). Это связано с перестановкой уравнений (строк матрицы A) перед этапом исключения поддиагональных элементов каждого столбца. Такая модификация метода называется методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу.

Вычисление определителя этим методом отличается тем, что перемена местами строк определителя изменяет его знак на противоположный:

(5.15)

Здесь p - количество перемен местами уравнений на этапе прямого хода.

 

 

Метод прогонки

(5.16) При прямой прогонке каждое неизвестное xi выражается через xi+1 : (5.17)

Метод LU-разложения

, (5.21) если все главные миноры матрицы A отличны от нуля, может быть преставлена в… A = LU, (5.22)

Метод квадратного корня

A = STDS,(5.29) где S- верхняя треугольная матрица, D - диагональная матрица с элементами +1… , (5.30)

Итерационные методы решения СЛАУ

. (5.40) На практике приближенное решение считается найденным, если норма вектора… , (5.41)

Обращение матриц

Отыскание матрицы, обратной заданной матрице A, основывается на тождестве

, (5.51)

где - единичная матрица. Это матричное равенство можно рассматривать как n СЛАУ относительно n неизвестных векторов, являющихся столбцами матрицы . Таким образом, задача обращения матрицы эквивалентна задаче решения n СЛАУ с одной и той же матрицей, но с разными правыми частями.

 

Алгебраическая проблема собственных значений

Рассматривается матричное (векторное) уравнение ,(6.1) для которого ищется решение - ненулевой вектор и значение параметра ,.при котором это решение существует. Такое…

О методах решения характеристического уравнения

Для решения характеристического уравнения могут использоваться общие методы решения нелинейных уравнений, которые будут рассматриваться в 7-м разделе этого пособия. Составной частью этих методов является вычисление определителя для заданных значений . Вычислять его можно

1) изученными в 5-м разделе методами линейной алгебры (Гаусса, LU - разложения и т.д.);

2) представив сначала определитель в виде характеристического многочлена, то есть, вычислив его коэффициенты a_i.

Для вычисления коэффициентов характеристического многочлена можно сначала вычислить определитель методами линейной алгебры в (n+1)-й точке а затем интерполировать его на этой сетке, например, методом Ньютона (метод интерполяции Микеладзе).

 

Преобразование подобия

(6.5) называется подобной матрице . Преобразование (5) называется преобразованием… Вывод: преобразованиями подобия можно привести матрицу к виду, удобному для определения собственных значений,…

Итерационный метод вращений (Якоби)

; (6.10) ; p = 0,1,…. (6.11) При этом

О выборе аннулируемых элементов

При каждом элементарном вращении наиболее выгодно аннулировать недиагональный элемент с максимальным модулем. Но для больших матриц перебор всех элементов становится очень длительной процедурой. Наиболее выгодным оказалось отыскивать и аннулировать т.н. оптимальный элемент. Для этого составляются суммы квадратов недиагональных элементов строк:

. (6.22)

Из них выбирается наибольшая , а в ней - наибольший по модулю элемент .

После каждого вращения изменяются только две суммы, причем вычислить их можно просто:

(6.23)

 

Методы решения нелинейных уравнений и систем

7.1. Постановка задачи

Требуется найти все или некоторые корни уравнения

,(7.1)

где - заданная непрерывная функция.

Эта задача состоит из следующих этапов:

3) исследование количества, кратности и расположения корней;

4) отыскание приближенных значений корней;

5) выбор интересующих нас корней и вычисление их с требуемой точностью.

Первые два этапа выполняются аналитическими и графическими методами. Для уточнения корней используются итерационные методы.

 

Метод половинного деления (дихотомия)

Если требуется найти корень с погрешностью, то деление отрезков пополам продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше . Тогда средина… Преимущества метода: 1) простота: алгорим элементарен;

Метод простых итераций

,(7.2) Выберем начальное приближение и вычислим дальнейшие приближения по формулам … ,n = 0,1,2, …(7.3)

Метод Ньютона (касательных)

. (7.6) Приближенно заменяя на получим итерационный процесс , (7.7)

Метод секущих

В методе Ньютона требуется вычислять производную функции, что не всегда удобно. Можно приближенно заменить производную в (7) конечноразностным выражением

. (7.15)

Тогда вместо (7) имеем итерационный процесс

. (7.16)

Для его начала требуется задать и (двухшаговый процесс).

 

 

Метод парабол

Если заменить функцию на ее трехточечную интерполяцию

(7.17)

то, приравняв ее нулю, получим уравнение

, (7.18)

где

(7.19)

Из двух корней уравнения (18) берется наименьший по модулю и следующее приближение принимает значение

. (7.20)

Для начала вычислений необходимо задать три начальных приближения , и (трехшаговый процесс).

 

 

Метод Ньютона решения системы нелинейных уравнений

(7.21) или в координатном виде (7.22)

Развернуть

Открыть в широком формате