рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Образование
/
Нестандартные случаи интегрирования

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Нестандартные случаи интегрирования

Нестандартные случаи интегрирования - раздел Образование, Погрешность. Определение погрешности Вычисление Интеграла ...

Вычисление интеграла от функции, разрывной в точке х=с (а<с<в), возможно с высокой точностью, если интеграл предварительно представить в виде

(27)

Аналогичное разбиение интеграла имеет смысл и тогда, когда разрыв имеют производные подынтегральной функции.

Вычисление несобственного интеграла 1-го рода

(28)

возможно численно, если сначала привести его к интегралу в конечных пределах от 0 до 1 с помощью замены переменной

x=a/(1-t). (29)

Для вычисления несобственного интеграла 2-го рода вида

(30)

можно применить метод аддитивного выделения особенности. Для этого функция j(x), не имеющая особенностей, представляется в виде

(31)

где — усеченный ряд Тейлора s-й степени для функции в окрестности точки x=а:

(32)

Тогда интеграл (30) примет вид

(33)

Нетрудно убедиться в том, что подынтегральная функция в первом интеграле непрерывна вместе со всеми производными вплоть до s-го порядка. Для ее интегрирования можно применять известные квадратурные формулы. Второй интеграл в (33) — несобственный 2-го рода, но подынтегральная функция в нем — степенная и легко интегрируется аналитически.

4.8. Вычисление кратных интегралов

Требуется вычислить двойной интеграл по прямоугольной области

(34)

Для получения кубатурной формулы приближенного интегрирования представим (34) в виде

(35)

Для вычисления этих однократных интегралов применим известные квадратурные формулы

(36)

Окончательно

(37)

Такой метод получения кубатурных формул называется методом последовательного интегрирования. Он легко обобщается на случай интегралов более высокой кратности.

Этот метод можно применить и для вычисления интегралов на области произвольной формы:

(38)

(39)

Применяя квадратурную формулу для интеграла (38), получим

(40)

Значения F(y_i) вычисляются согласно (39) с использованием квадратурных формул, тип которых обычно зависит от у, так как пределы интегрирования переменных.

Результаты данного подраздела легко обобщаются на интегралы более высокой кратности.

4.9.Метод ячеек

Наиболее простая и весьма эффективная кубатурная формула для прямоугольной области получается в результате применения по обеим независимым координатам формул средних. Тогда равенства (36) примут вид

(41)

(42)

где `x=(a+b)/2, `y=(a+b)/2. Подставив (42) в (43), получим кубатурную формулу

(43)

Здесь s=(b-a)(b-a) - площадь области интегрирования; `f, `f_xx^’’, `f_yy^’’- значения подынтегральной функции и ее производных в центре этой области.

Полученная формула имеет второй порядок точности, но так как интервалы интегрирования обычно не малы, то применяют обобщение этой формулы. Интегралы интегрирования делят на подынтервалы узлами и применяют формулы (43) на каждой прямоугольной подобласти:

(44)

Здесь — площади подобластей; — координаты их центров тяжести. Если сетка равномерна, то Sij=S, xi-xi-1=h, yi-yi-1=l и

(45)

Если область интегрирования - не прямоугольник, то ее делят прямоугольной сеткой на р подобластей G_k(k=`1,`p) и тогда

(46)

Здесь не записана главная часть погрешности и оценивать погрешность формулы следует апостериорно.

Внутренние подобласти G_k имеют форму прямоугольников. Подобласти, примыкающие к границе области интегрирования, являются криволинейными треугольниками либо трапециями. Второй порядок точности формулы (45) сохранится, если криволинейные участки границы спрямить, что упростит вычисления. В этой формуле S_k — площадь к-й подобласти; `x_k, `y_k - координаты ее центра тяжести.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Погрешность. Определение погрешности

Определение погрешности Погрешность ошибка некоторой величины это разность... Способы оценки погрешности... Различают априорную и апостериорную оценки погрешности...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Нестандартные случаи интегрирования

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Определение погрешности
Физические величины почти всегда известны приближенно, с погрешностью, если только речь не идет о целочисленных величинах или физических эталонах. Погрешность (

Источники погрешности
В теоретических исследованиях выделяют следующие источники погрешности: - погрешность исходных данных; - погрешность математической модели

Задачи аппроксимации и интерполяции
Часто функции либо имеют очень громоздкое аналитическое выражение, либо заданы таблично. В этом случае имеет смысл на некотором интервале заменить заданную функцию y(x) приближенным аналитическим,

Интерполяционный многочлен Ньютона.
Наиболее проста и универсальна интерполяция степенными функциями . (2.7) Можно показать, что условие (6) при этом всегда в

Погрешность и трудоемкость интерполяции
Известные в литературе априорные оценки погрешности интерполяции на практике неприменимы, т.к. они требуют знания производных от функции y(x). Для апостериорной оценки погрешнос

Нелинейная интерполяция
Полиномиальная интерполяция не всегда сходится. Ряд (17) расходится для быстро изменяющихся функций (для сетки с большим шагом). В этом случае следует применить метод выравнивания

Эрмитова интерполяция
Постановка задачи эрмитовой интерполяции: таблично задана функция y(x), а также ее производные:

Интерполяция сплайнами
Сплайн - непрерывная кусочно - полиномиальная функция. Ее степень в задачах интерполяции не зависит от числа узлов и поэтому сплайны эффективны при многоузловой

Аппроксимация функций методом наименьших квадратов
В прикладных задачах бывает необходимо аппроксимировать функцию единым аналитическим выражением на большом интервале изменения независимой переменной, что невозможно методами интерп

Двумерная интерполяция
Пусть функция z=z(x, y) задана таблично на прямоугольной сетке: (43) Необ

Полиномиальные формулы
Численное дифференцирование применяется, если функцию y(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически, например, если она задана таблично. Оно используется также при реш

Конечноразностные формулы
Часто требуется найти производные от функций, заданных на равномерной сетке и не в произвольной точке, а в узле сетки. Тогда можно получить формулы более простые, чем в общей постан

Метод Рунге - Ромберга
Этот метод позволяет, применяя формулы р-го порядка точности, получить результат (р+1)-го порядка точности. Пусть приближенное значение некоторой величины на сетке с шагом

Вычисление интегралов
4.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса Даже если функция f(x) задана аналитически, вычислить интеграл

Формула средних
Самая простая квадратурная формула — одноузловая. Наиболее рационально выбирать этот узел посредине интервала, в точке `х=(a+b)/2. Для вывода формулы разложим подынтегральную функци

Формула трапеций
Если аппроксимировать подынтегральную функцию в (1) многочленом Лагранжа: (10)

Формула Симпсона
Еще одна возможность получения квадратурных формул - использование метода Рунге-Ромберга (подраздел 3.3). Для вычисления интеграла

Решение систем линейных алгебраических уравнений
5.1. Постановка задачи Рассматривается система n линейных алгебраических уравнений (сокращенно - СЛАУ) с n неизвестными

Корректность задачи
Задача поставлена корректно, если: 1) решение задачи существует; 2) оно единственно, 3) решение непрерывно зависит от входных данных. Вхо

Метод прогонки
Если матрица СЛАУ ленточная трехдиагональная, то метод Гаусса принимает более компактную форму и называется методом прогонки. СЛАУ при этом имеет следующий вид:

Метод LU-разложения
Матрица A СЛАУ , (5.21) если все главные миноры матрицы A отличны от ну

Метод квадратного корня
Если СЛАУ имеет симметричную матрицу, то для последней возможно представление A = STDS,(5.29) где S- верхняя треугольная матрица,

Итерационные методы решения СЛАУ
Итерационные методы решения СЛАУ заключаются в построении последовательности векторов (k=0,1,2,…), сходящейся к вектору

Алгебраическая проблема собственных значений
6.1. Постановка задачи Рассматривается матричное (векторное) уравнение ,(6.1)

Преобразование подобия
Матрица (6.5) называется подобной матрице

Итерационный метод вращений (Якоби)
Метод применим к симметричным матрицам и состоит в приведении заданной матрицы .к диагональному виду с помощью беско

Метод половинного деления (дихотомия)
Пусть найдены такие точки и , что

Метод простых итераций
Заменим уравнение (1) на эквивалентное ему уравнение ,(7.2) Выберем начальное приближение

Метод Ньютона (касательных)
Пусть в уравнении (1) функция имеет непрерывную производную. Тогда это уравнение можно преобразовать к виду

Метод Ньютона решения системы нелинейных уравнений
Систему нелинейных уравнений можно записать в краткой векторной форме (7.21) или в координатном виде